მოსწავლეებთან 15-წლიანი მუშაობის პროცესში ბევრჯერ შევეჯახე ერთ პრობლემას, ეს არის მათემატიკაში მიღებული ცოდნის ქიმიის, ბიოლოგიის ან ფიზიკის გაკვეთილზე გადატანასთან დაკავშირებული სირთულეები. ის მოსწავლეებიც, რომელთაც მაღალი შეფასება აქვთ მათემატიკაში, ერთუცნობიან განტოლებას ,,უცხოსავით“ უყურებენ. ვერ წარმოუდგენიათ, რომ ეს ის მარტივი განტოლებაა, რომელიც მათემატიკის გაკვეთილზე არაერთხელ ამოუხსნიათ. იგივე შეიძლება ითქვას ხარისხის ან პროცენტის გამოყენებაზე. განსაკუთრებული ყურადღება მინდა გავამახვილო ხსნარებთან დაკავშირებულ ამოცანებზე, რომლებიც ზოგადი უნარების, მათემატიკისა და ქიმიის ეროვნული გამოცდების პროგრამაშიც შედის.
ხსნარებზე ამოცანის ამოხსნის ბევრი ხერხი არსებობს, ზოგჯერ მათემატიკის გაკვეთილზე ჩაწერილი მზა ფორმულა მოსწავლეებსაც შემოუთავაზებიათ. დისტანციური სწავლების გაკვეთილებზე მუშაობისას კი ვიპოვე ერთი საინტერესო ხერხი – ამოცანების ამოხსნა გრაფიკულად GeoGebra-ის დახმარებით. ეს რესურსი შეუძლია გამოიყენოს ქიმიის მასწავლებელმა, როგორც გამჭოლი კომპეტენციის განვითარებაზე ორიენტირებული გაკვეთილი, სადაც მოსწავლეებს მათემატიკაში მიღებულ ცოდნას გადაატანინებს ქიმიაში და ამით გაამთლიანებს საკითხს. ასევე მათემატიკის მასწავლებელსაც შეუძლია გამოიყენოს, როგორც ,,კომპლექსური დავალება“, რომელიც აკმაყოფილებს ,,ახალი სკოლის მოდელის“ მოთხოვნებს. გრაფიკული ხერხის გამოყენება შესაძლებელია ფურცელზეც. გამოცდილების გაზიარების მიზნით გთავაზობთ ხსნარებზე ამოცანის ამოხსნის გრაფიკულ მეთოდს.
ამისთვის აუცილებელია გადავიდეთ ლინკზე https://www.geogebra.org/m/C4M42dr7. გამოჩნდება ოთხი სურათი, რომელსაც აირჩევთ. გთავაზობთ ამ რესურსით სარგებლობის დეტალურ ინსტრუქციას.
- ორი ხსნარიდან მიიღება ერთი ხსნარი. არსებობს რამდენიმე ვარიანტი:
ა) ცნობილია საწყისი ხსნარების მასა და მასური წილი და უნდა დავადგინოთ მიღებული ხსნარის პროცენტული კონცენტრაცია;
ბ) ცნობილია ორივე საწყისი და მიღებული ხსნარის მასური წილი და მესამე ხსნარის მასა, უნდა ვიპოვოთ საწყისი ხსნარების მასა;
გ) ცნობილია ორივე საწყისი და მიღებული ხსნარის მასური წილი და ერთი საწყისი ხსნარის მასა, უნდა ვიპოვოთ მეორე საწყისი და მიღებული ხსნარების მასა;
დ) ცნობილია ერთი საწყისი ხსნარის და მიღებული ხსნარის მასა და მასური წილი, უნდა ვიპოვოთ მეორე ხსნარის მასა და პროცენტული კონცენტრაცია.
გთავაზობთ ერთი ამოცანის ნიმუშს: ამოცანა 1. ერთმანეთს შეურიეს 60 გრამი 30%-იანი და 90 გრამი 80 % -იანი ხსნარები. დაადგინეთ მიღებული ხსნარის მასა.
ამოხსნა: 1. აბსცისათა ღერძზე უნდა გადავზომოთ ხსნარის მასა, ორდინატთა ღერძზე – ხსნარების პროცენტული კონცენტრაცია (სურ.1).
- საკოორდინატო სიბრტყეზე ავიღოთ A წერტილი, კოორდინატებით (0; W% 2) და C წერტილი, კოორდინატებით C ( m 3 ; W% 1 ). გავავლოთ AC წრფე და მასზე დავიტანოთ B წერტილი, რომლის კოორდინატებია B ( m 1 ; W% 3 ). B წერტილია y კოორდინატი უცნობია (სურ: 2).
ამ ამოცანისთვის: ცნობილია A და C წერტილების კოორდინატები, უნდა ვიპოვოთ B წერტილის y კოორდინატი. A (0; 80); C ( 150; 30). (სურ: 3, 4) .
(სურ: 1)
(სურ: 2)
- შევადგინოთ განტოლება y = kx + b ; A წერტილისთვის, დავადგენთ b-ის მნიშვნელობას, შემდეგ C წერტილისთვის, დავადგენთ x-ის მნიშვნელობას. ბოლოს ჩავწერთ ფუნქციას.
ჩვენი ამოცანისთვის :
A წერტილისთვის: 80 = k X 0 + b აქედან b = 80,
C წერტილისთვის: 30 = k X 150 + 80; საიდანაც k = -1/3
B წერტილისთვის: y = -1/3 X 60 + 80 = 60
ე.ი. მიღებული ხსნარის მასური წილია 60 % (სურ: 5).
(სურ: 3)
(სურ: 4)
სხვა დანარჩენი ტიპის ამოცანებში წრფის ასაგებად ასევე ვიქცევით. ნებისმიერ შემთხვევაში ცნობილია ორი წერტილის კოორდინატები, გამოვთვლით k-ის და b-ის მნიშვნელობებს. ვიპოვით უცნობ სიდიდეს.
(სურ: 5)
II ხსნარს ვამატებთ მარილს
ა)ცნობილია საწყისი ხსნარის მასა და პროცენტული კონცენტრაცია, ასევე დამატებული მარილის მასა;
ბ) ცნობილია მიღებული და საწყისი ხსნარის მასური წილი, ასევე მიღებული ხსნარის მასა, უნდა დავადგინოთ საწყისი ხსნარის და დამატებული მარილის მასა;
გ) ცნობილია მიღებული და საწყისი ხსნარის მასური წილი, ასევე საწყისი ხსნარის მასა, უნდა დავადგინოთ მიღებული ხსნარის და დამატებული მარილის მასები;
დ) ცნობილია მიღებული ხსნარის მასური წილი და მასა, ასევე დამატებული მარილის მასა, უნდა დავადგინოთ საწყისი ხსნარის მასა და მასში გახსნილი ნივთიერების მასური წილი.
ამოცანა 2: 80 გრამ 50 %-იან ხსნარს დაამატეს 20 გრამი მარილი. გამოთვალე მიღებული ხსნარის მასა და მასური წილი.
საკოორდინატო სიბრტყეზე ავიღოთ A წერტილი, კოორდინატებით (0; W% 2), სადაც W% 2 ეს არის დამატებული მარილის ,,კონცენტრაცია“, ანუ 100 % და C წერტილი, კოორდინატებით C ( m 3 ; W% 1 ), სადაც m 3. არის მიღებული ხსნარის მასა. გავავლოთ AC წრფე და მასზე დავიტანოთ B წერტილი, რომლის კოორდინატებია B ( m 1 ; W% 3 ). B წერტილის y კოორდინატი უცნობია.
ამ ამოცანისთვის: ცნობილია A და C წერტილის კოორდინატები. A (0; 100); C ( 100; 50).
ჩვენი ამოცანისთვის:
A წერტილისთვის: 100 = k X 0 + b აქედან b = 100,
C წერტილისთვის: 50 = k X 100 + 100; საიდანაც k = -1/2,
B წერტილისთვის: y = -1/2 X 80 + 100 = 60,
ე.ი. მიღებული ხსნარის მასური წილია 60 % (სურ: 6).
(სურ: 6)
სხვა დანარჩენი ტიპის ამოცანებში წრფის ასაგებად ასევე ვიქცევით. ნებისმიერ შემთხვევაში ცნობილია ორი წერტილის კოორდინატები, გამოვთვლით k -ს და b-ს მნიშვნელობებს. ვიპოვით უცნობ სიდიდეს.
III ხსნარს ვამატებთ წყალს
ა) ცნობილია ხსნარის მასა და პროცენტული კონცენტრაცია, ასევე დამატებული წყლის მასა. უნდა დავადგინოთ მიღებულ ხსნარში ნივთიერების მასური წილი;
ბ) ცნობილია საწყისი და მიღებული ხსნარების პროცენტული კონცენტრაცია, მიღებული ხსნარის მასა. უნდა ვიპოვოთ დამატებული მარილის კონცენტრაცია;
გ) მოცემულია საწყისი ხსნარის მასა და პროცენტული კონცენტრაცია, მიღებული ხსნარის მასური წილი, უნდა ვიპოვოთ დამატებული წყლის და მიღებული ხსნარის მასები;
დ) ცნობილია მიღებული ხსნარის მასა და მასური წილი, დამატებული წყლის მასა. უნდა ვიპოვოთ საწყისი ხსნარის მასა და მასური წილი.
განვიხილოთ ამოცანა: 100 გრამ 80%-იან ხსნარს დაამატეს 60 გრამი წყალი. დაადგინე მიღებულ ხსნარში გახსნილი ნივთიერების მასური წილი.
საკოორდინატო სიბრტყეზე ავიღოთ A წერტილი, კოორდინატებით (0; W% 2), სადაც W% 2 ეს არის დამატებული წყლის ,,კონცენტრაცია“ ანუ 0 % და C წერტილი, კოორდინატებით C (m 3 ; W% 1), სადაც m3 არის მიღებული ხსნარის მასა. გავავლოთ AC წრფე და მასზე დავიტანოთ B წერტილი, რომლის კოორდინატებია B (m 1 ; W% 3 ). B წერტილის y კოორდინატი უცნობია.
ამ ამოცანისთვის: A (0; 0); C (160; 80).
ჩვენი ამოცანისთვის:
A წერტილისთვის: 0 = k X 0 + b აქედან b = 0,
C წერტილისთვის: 80 = k X 160 + 0; საიდანაც k = ½,
B წერტილისთვის: y = 1/2 X 100 + 0 = 50.
ე.ი. მიღებული ხსნარის მასური წილია 50% (სურ: 7)
სხვა დანარჩენი ტიპის ამოცანებში წრფის ასაგებად ასევე ვიქცევით. ნებისმიერ შემთხვევაში ცნობილია ორი წერტილის კოორდინატები, გამოვთვლით k-ის და b-ის მნიშვნელობებს. ვიპოვით უცნობ სიდიდეს.
(სურ: 7)
IV ტიპის ამოცანაში ვაორთქლებთ წყალს.
ა) მოცემულია საწყისი ხსნარის მასა და პროცენტული კონცენტრაცია, ასევე აორთქლებული წყლის მასა. უნდა დავადგინოთ, რას უდრის მიღებულ ხსნარში გახსნილი ნივთიერების მასური წილი;
ბ) ცნობილია საწყის ხსნარში გახსნილი ნივთიერების მასური წილი, მიღებული ხსნარის მასა და მასური წილი. უნდა ვიპოვოთ საწყისი ხსნარის მასა და დამატებული წყლის მასა;
გ) ცნობილია საწყისი ხსნარის მასა და მასური წილი, ასევე მიღებულ ხსნარში ნივთიერების მასური წილი. უნდა ვიპოვოთ დამატებული წყლისა და მიღებული ხსნარის მასა;
დ) ცნობილია მიღებული ხსნარის მასა და მასში გახსნილი ნივთიერების მასური წილი, ასევე დამატებული წყლის მასა. უნდა ვიპოვოთ საწყისი ხსნარის მასა და მასში ნივთიერების მასური წილი.
განვიხილოთ ამოცანა: საწყისი ხსნარიდან ააორთქლეს 70 გრამი წყალი და მიიღეს 80 გრამი 60%-იანი ხსნარი. რას უდრის საწყისი ხსნარის მასა და მასში გახსნილი ნივთიერების მასური წილი.
ამოცანის პირობის მიხედვით ცნობილია მიღებული ხსნარის მასა და აორთქლებული წყლის მასა, ე.ი. m 3 = 80 გ; m 1 = 80 + 70 = 150გ.
საკოორდინატო სიბრტყეზე ავიღოთ A წერტილი, კოორდინატებით (0; W% 2), სადაც W% 2 ეს არის აორთქლებული წყლის ,,კონცენტრაცია“ ანუ 0 % და B წერტილი, კოორდინატებით B (m 1 ; W% 3), სადაც m 1. არის საწყისი ხსნარის მასა. გავავლოთ AB წრფე და მასზე დავიტანოთ C წერტილი, რომლის კოორდინატებია C (m 3 ; W% 1). C წერტილის y კოორდინატი უცნობია.
ამ ამოცანისთვის: ცნობილია A და B წერტილის კოორდინატები. A (0; 0); B ( 150; 60); C (70; y).
ჩვენი ამოცანისთვის:
A წერტილისთვის: 0 = k X 0 + b აქედან b = 0,
B წერტილისთვის: 60 = k X 150 + 0; საიდანაც k = 60/150= 2/5,
C წერტილისთვის: y = 2/5 X 80 + 0= 32,
ე.ი. მიღებული ხსნარის მასური წილია 32% (სურ: 8).
სხვა დანარჩენი ტიპის ამოცანებში წრფის ასაგებად ასევე ვიქცევით. ნებისმიერ შემთხვევაში ცნობილია ორი წერტილის კოორდინატები, გამოვთვლით k-ის და b-ის მნიშვნელობებს. ვიპოვით უცნობ სიდიდეს.
(სურ: 8)
გამოყენებული ლიტერატურა: https://www.geogebra.org/m/C4M42dr7#material/vhQtMXrF
