წრეწირი, ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა, როგორც კონუსური კვეთები

წრეწირი, ელიფსი, პარაბოლა  და ჰიპერბოლა მეორე რიგის ალგებრული წირებია. თითოეული მათგანი წარმოადგენს ისეთ ბრტყელ წირს, რომელებიც მკაცრად განსაზღვრულია ზოგადი სახის განტოლებებით.  თითოეული მათგანი წარმოადგენს იმ წერტილთა გეომეტრიულ ადგილს, რაც მათი განმარტებებიდან გამომდინარეობს.

გარდა ამისა თითოეული წირი წარმოადგენს კონუსის სიბრტყით გაკვეთისას მიღებულ წირს. სტატიაში გთავაზობთ  თითოეული წირის  კონუსის კვეთასთან შესაბამისობის  გეომერტიულ დამტკიცებას.

ვაჩვენოთ, რომ წრეწირი, ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა შეიძლება მიღებულ იქნან  მართი წრიული კონუსური ზედაპირის სიბრტყით გადაკვეთით. მართი წრიული კონუსური ზედაპირი წარმოადგენს იმ წრფეების გეომეტრიულ ადგილს, რომლებიც გადიან მოცემულ წერტილზე (კონუსის წვერო) და მოცემულ წრეწირზე (მიმმართველი წირი, კონუსის ფუძე). ამასთან წრეწირის სიბრტყე იმ წრფის მართობია, რომელიც წრეწირის ცენტრს კონუსის წვეროსთან აერთებს; აღნიშნულ წრფეს კონუსის ღერძი ეწოდება.

ვთქვათ, მოცემულია მართი კონუსი და ის გადაკვეთილია ფუძის პარალელური π სიბრტყით (ნახ 1). ადვილი მისახვედრია, რომ კვეთში მიიღება წრეწირი.  π სიბრტყე ვაბრუნოთ a წრფის ირგვლივ და  კონუსი გავკვეთოთ π სიბრტყით π სიბრტყის სხვა და სხვა მდებარეობებისას.

ნახ 1

ნახ 2

იმის დასამტკიცებლად  რომ კონუსური ზედაპირის სხვადასხვა სიბრტყით გადაკვეთისას მიღებული წირები ელიფსის პარაბოლასა და ჰიპერბოლას წარმოადგენენ, გავიხსენოთ თითოეული წირის განმარტება:

ელიფსი ეწოდება იმ წერტილთა გეომეტრიულ ადგილს, რომელთა მანძილების ჯამი ორი გარკვეული წერტილიდან მუდმივი სიდიდეა.

პარაბოლა ეწოდება იმ წერტილთა გეომეტრიულ ადგილს, რომელთა მანძილები გარკვეულ წერტილამდე და გარკვეულ წრფემდე მუდმივი სიდიდეა.

ჰიპერბოლა  ეწოდება იმ წერტილთა გეომეტრიულ ადგილს, რომელთა მანძილების სხვაობა ორი გარკვეული წერტილიდან მუდმივი სიდიდეა.

ელემენტარულ გეომეტრიაში განიხილავენ კონუსის იმ ნაწილს, რომელიც მოთავსებულია წვეროსა და მიმმართველ წრეწირს შორის. ჩვენ კი ჩვენ მიერ წარმოდგენილ სამუშაოში  კონუსურ ზედაპირს განვიხილავთ მთლიანად, რომელიც, ორივე მხარეს მიდის უსასრულეთში. ქვემოთ ჩვენ ვნახავთ, რომ წრიული კონუსური ზედაპირი მეორე რიგის ზედაპირია.

მართი წრიული კონუსური ზედაპირი გადავკვეთოთ ისეთ π სიბრტყით (სიბრტყე, რომელიც A, M და A₁ წერტილებზე გადის), რომელიც არ გადის კონუსური ზედაპირის წვერზე.

განვიხილოთ მეორე სიბრტყე, რომელიც გადის კონუსის ღერძზე და π სიბრტყის მართობია; ვთქვათ, ეს სიბრტყე არის ნახაზის სიბრტყე; უკანასკნელი კონუსურ ზედაპირს გადაკვეთს ორ e და e₁ მსახველზე, ხოლო π სიბრტყეს რომელიმე AA₁ წრფეზე.

განვიხილოთ სამი შემთხვევა:

1. ვთქვათ, აღებული π სიბრტყე კვეთს კონუსური ზედაპირის მხოლოდ ერთ ნაწილს (ერთ კალთას), ისე რომ იგი არ არის კონუსური ზედაპირის არც ერთი მსახველის პარალელური  (ნახ. 3).  ასეთ შემთხვევაში π სიბრტყის l და l₁ მსახველებთან გადაკვეთის A და A₁ წერტილები მოთავსდება კონუსის ერთ კალთაზე. გავავლოთ კონუსური ზედაპირის შიგნით ორი წრეწირი, რომლებიც ეხებიან l და l₁ მსახველებს და AA₁ წრფეს (ერთი ამ წრეთაგანი OAA₁ სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირია, ხოლო მეორე კი გარეჩახაზული).

ამ წრეწირების ცენტრები, ცხადია, დალაგდება კონუსური ზედაპირის ღერძზე. F და F₁ იყოს აღნიშნული წრეწირების AA₁ წრფესთან შეხების წერტილები. თუ აღნიშნულ წრეწირებს ვაბრუნებთ კონუსის ღერძის გარშემო, ამით მივიღებთ ორ სფეროს, რომლებიც კონუსურ ზედაპირს ეხებიან GH და G₁H₁ წრეწირების გასწვრივ. ამ წრეწირების სიბრტყეები, ცხადია კონუსის ღერძის მართობულია. G, H, G₁ და H₁ წერტილები წარმოადგენენ აღნიშნული სფეროების l და l₁ მსახველებთან შეხების წერტილებს. M იყოს π სიბრტყის კონუსურ  ზედაპირთან გადაკვეთის წირის რომელიმე წერტილი. გავავლოთ ამ წერტილზე კონუსური ზედაპირის მსახველი, რომელიც GN და G₁N₁ წრეწირებს გადაკვეთს K და K₁

 წერტილებში; OK₁, OG₁ და OH₁ მონაკვეთები წარმოადგენენ ერთი საერთო წერტილიდან გავლებულ ორი სფეროს საერთო მხებებს.OH=OG=OK, OH₁=OG₁=OK_1.  ამიტომ KK₁=GG₁=HH₁, და მათი საერთო სიგრძე არ არის დამოკიდებული M წერტილის არჩევაზე.

მეორე მხრივ MF=MK, როგორც ორი მხები, გავლებული M წერტილიდან პირველი სფეროსადმი; ასევე,  MF₁=MK₁, როგორც ორი მხები, გავლებული M წერტილიდან მეორე სფეროსადმი;  ამიტომ, ცხადია,

MF+MF₁=MK+MK₁=KK₁

ე.ი M წერტილიდან F და F₁ წერტილებამდე მანძილების ჯამი მუდმივი სიდიდეა. რაც იმას ნიშნავს რომ π სიბრტყის კონუსურ ზედაპირთან გადაკვეთის წირი არის ელიფსი F და F₁  

 ფოკუსებით და KK₁ დიდი ღერძით.

ნახ.3

2. განვიხილოთ შემთხვევა, როცა π სიბრტყე გადაკვეთს კონუსური ზედაპირის ორივე კალთას, ისე რომ A და A₁ წვეროებო მოთავსდება კონუსური ზედაპირის სხვადასხვა ნაწილზე (ნახ. 4).  ამ შემთხვევაში π სიბრტყე კონუსური ზედაპირის ორი მსახველის პარალელური იქნება. ეს მსახველები მიიღება, თუ კონუსურ ზედაპირს გადავკვეთთ π სიბრტყის პრალელური იმ სიბრტყით, რომელიც გადის კონუსის ღერძზე. გავავლოთ აქაც ორი წრეწირი, რომლებიც მდებარეობენ კონუსური ზედაპირის შიგნით და ეხებიან OA, OA₁ და AA₁ წრფეებს. აღნიშნული წრეწირების AA₁ წრფესთან შეხების წერტილები აღვნიშნოთ F, და F₁-თი. წრეწირების ცენტრები, ცხადია მდებარეობენ კონუსის ღერძზე. ახლა, თუ აღნიშნულ წრეწირებს ვაბრუნებთ კონუსის ღერძის გარშემო, ამით აქაც მივიღებთ ორ სფეროს, რომლებიც კონუსურ ზედაპირს ეხებიან GH და G₁H₁ წრეწირების გასწვრივ, ამ წრეწირების სიბრტყეები კონუსის ღერძის მართობი იქნება. G, H, G₁ და H₁ წერტილები არის მიღებული სფეროებისა და კონუსური ზედაპირის კუთვნილი OA და OA₁ მსახველების შეხებით.  π სიბრტყის კონუსურ ზედაპირთან გადაკვეთის წირი, ცხადია, შედგება ორი ნაწილისაგან, რომლებიც მდებარეობენ კონუსური ზედაპირის სხვადასხვა კალთაზე. M იყოს აღნიშნული წირის რომელიმე წერტილი. გავავლოთ ამ წერტილზე კონუსური ზედაპირის მსახველი, რომელიც GH და G₁H₁ წრეწირებს გადაკვეთს K და K₁ წერტილებში. KK₁, GG₁ და HH₁ მონაკვეთები წარმოადგენენ ერთი საერთო წერტილიდან გავლებულ ორი სფეროს საერთო მხებებს.  ცხადია, KK₁=GG₁=HH₁ და მათი საერთო სიგრძე არ არის დამოკიდებული M წერტილის არჩევაზე. მეორე მხრივ გვაქვს

MF=MK,   MF₁=MK₁

ამიტომ

MF₁-MF=MK₁-MK=KK₁

ე.ი M წერყილიდან F და F₁ წერტილებამდე მანძილების სხვაობა მუდმივი სიდიდეა.

ნახ 4

რაც იმას ნიშნავს რომ π სიბრტყის კონუსურ ზედაპირთან გადაკვეთის წირი არის ჰიპერბოლა  F და F₁  ფოკუსებით.

3. ვთქვათ, π სიბრტყე კვეთს კონუსური ზედაპირის მხოლოდ ერთ კალთას, ისე რომ იგი კონუსური ზედაპირის ერთ-ერთი მსახველის, მაგალითად l₁ – ის პარალელურია  (ნახ. 5).  ასეთ შემთხვევაში AA₁ წრფე გადაკვეთს მხოლოდ l მსახველს რომელიმე A წერტილში.

კონუსური ზედაპირის შიგნით გავავლოთ წრეწირი, რომელიც ეხება l  და l₁ მსახველებს და A₁A წრფეს შესაბამისად G, H და F წერტილებში. წრეწირის ცენტრი ცხადია, მოთავსდება კონუსის ღერძზე. ახლა, თუ აღნიშნულ წრეწირს ვაბრუნებთ კონუსის ღერძის გარშემო, აქაც მივიღებთ სფეროს, რომელიც კონუსურ ზედაპირს შეეხება GH წრეწირის გასწვრივ;  ამ წრეწირის სიბრტყე კონუსის ღერძის მართობია. π სიბრტყისა და GH წრეწირის სიბრტყის გადაკვეთით მივიღებთ b წრფეს. π სიბრტყის კონუსურ ზედაპირთან გადაკვეთს წირი, ცხადია, მოთავსდება ზედაპირის მხოლოდ ერთ კალთაზე. M იყოს აღნიშნული წირის რომელიმე წერტილი. გავავლოთ M წერტილზე კონუსური ზედაპირის მსახველი, იგი GH წრეწირს გადაკვეთს რომელიმე K წერტილში. M წერტილიდან დავუშვათ MN მართობი b წრფეზე. MN წრფე, ცხადია, პარალელურია AA₁ წრფის და მაშასადამე, l₁ მსახველისაც. MN და l₁ წრფეები (როგორც ორი პარალელური წრფე) ქმნიან q სიბრტყეს. O,K,M,N და H წრეტილები ცხადია მოთავსებულები არიან ამ სიბრტყეში.

ადვილად შევნიშნავთ, რომ N, K და H წერტილები ერთ წრფეზე მდებარეობენ, რომელიც ახლახან აღნიშნული q სიბრტყის თანაკვეთაა GH წრეწირის სიბრტყესთან.

MNK და KOH სამკუთხედები მსგავსია, რადგან კუთხე OKH და კუთხე MKN ვერტიკალური კუთხეებია, ხოლო კუთხე NMK და კუთხე HOK შიგაჯვარედინა. OK = OH და MK=MF როგორც  ერთი საერთო წერტილიდან გავლებული სფეროს საერთო მხებები. KOH და MNK ტოლფერდა სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარე MK=MN, მაშასადამე,

MN = MF,

ე.ი მანძილი M წერტილიდან  F წერტილამდე და b  წრფემდე ერთმანეთის ტოლია. ამრიგად, ამ შემთხვევაში, π სიბრტყის გადკვეთა კონუსურ ზედაპირთან არის პარაბოლა, F ფოკუსით და b  დირექტრისით.

ბოლოს, თუ π სიბრტყეს ვაბრუნებთ, ამით ჩვენ კვეთაში მივიღებთ სხვადასხვა წირს; ასე მაგალითად, თუ იგი პირველად იყო წრეწირი, ასეთი ბრუნვისას იგი გადავა ელიფსში, შემდეგ პარაბოლაში, შემდეგ კი ჰიპერბოლაში, ან, პირიქით.

პარაბოლა მიიღება იმ შემთხვევაში, როცა გამკვეთი სიბრტყე გახდება კონუსური ზედაპირის მხები სიბრტყის პარალელური.

ნახ 5

ზემოაღნიშნულის გამო ხშირად ელიფსს, პარაბოლას და ჰიპერბოლს უწოდებენ აგრეთვე კონუსურ კვეთებს. ამ წირების აქ მოყვანილი თვისება ცნობილი იყო ჯერ კიდევ რამდენიმე საუკუნით ადრე ჩვენს წელთაღრიცხვამდე.

       დასკვნა:  წრეწირი, ელიფსი, პარაბოლა და ჰიპერბოლა წარმოადგენენ მეორე რიგის წირებს. კონუსი არის მეორე რიგის ზედაპირი. სწორედ მეორე რიგის ზედაპირის სიბრტყით გადაკვეთით მიიღება მეორე რიგის წირები.