ინვესტიციის ზრდა, შედარება და საუკეთესო არჩევანი

მათემატიკური მოდელი: რეალური სამყაროს პროცესების მათემატიკური ენით აღწერა და ანალიზი; ექსპონენციალური ზრდა/კლება;  ალგებრული გამოსახულება, რთული პროცენტის ფორმულები;

მაჩვენებლიანი განტოლება. ლოგარითმული განტოლება.

კანონზომიერება: ალგებრული გამოთვლები; მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები; ლოგარითმული თვისებები/წესები; ფარდობითი ცვლილება.

ლოგიკა: ლოგიკური ნაბიჯების თანმიმდევრობა მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად და მისი ვალიდურობის შესამოწმებლად; მათემატიკური ამოხსნიდან რეალურ კონტექსტში დასაბუთებული, ლოგიკური დასკვნის გამოტანა.

ü  მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული განტოლებები (მარტივი ნიმუშები)

ü  რეალური პროცესების მოდელირება ალგებრული გამოსახულების/ განტოლების საშუალებით, პრობლემის გადაჭრა.

წარმოიდგინეთ, რომ მუშაობთ ფინანსურ საკონსულტაციო კომპანიაში. თქვენი კლიენტი, ქალბატონი თამარი, დაინტერესებულია ინვესტიციით, რომლის ღირებულებაც დროთა განმავლობაში ექსპონენტურად იზრდება. მან იცის საწყისი ინვესტიციის თანხა და წლიური პროცენტული განაკვეთი (რთული პროცენტი), მაგრამ სურს იცოდეს, რამდენი ხანი დასჭირდება მის ინვესტიციას, რომ განსაზღვრულ თანხას მიაღწიოს ან როგორი იქნება მისი ინვესტიციის ღირებულება განსაზღვრული პერიოდის შემდეგ.

თქვენი ამოცანაა, მაჩვენებლიანი ლოგარითმული განტოლებების გამოყენებით დაეხმაროთ ქალბატონ თამარს ამ კითხვებზე პასუხების პოვნაში.

1.      საწყისი ინვესტიცია: ქალბატონმა თამარმა დააბანდა 5000 ლარი (P=5000).

2.      საპროცენტო განაკვეთი: ინვესტიციის წლიური საპროცენტო განაკვეთი არის 8% (r=0.08).

ამოცანა 1: იმ დროის გამოთვლა, რომელიც საჭიროა სასურველი თანხის მისაღწევად

ქალბატონ თამარს აინტერესებს, რა დრო (t) დასჭირდება მის ინვესტიციას, რომ მიაღწიოს 12000 ლარს (A=12000).

·         ჩაწერეთ მოცემული მნიშვნელობები ძირითად ფორმულაში.

·         გამოიყენეთ ლოგარითმები მიღებული განტოლების ამოსახსნელად t-ს მიმართ.

·         უპასუხეთ კითხვას წლებით (დამრგვალებული მეასედამდე).

ამოცანა 2: ინვესტიციის ღირებულება განსაღვრული პერიოდის შემდეგ

ქალბატონ თამარს ასევე აინტერესებს, როგორი იქნება მისი ინვესტიციის ღირებულება, თუ ის ფულს ბანკში დატოვებს 15 წლის განმავლობაში (t=15).

·         ჩაწერეთ მოცემული მნიშვნელობები ძირითად ფორმულაში.

·         გამოთვალეთ A-ს მნიშვნელობა.

·         უპასუხეთ კითხვას ლარებში (დამრგვალებული თეთრებამდე)

ამოცანა 3: საპროცენტო განაკვეთის განსაზღვრა

ვთქვათ, ქალბატონ თამარმა იპოვა სხვა საინვესტიციო შესაძლებლობა, სადაც 4 წელიწადში (t=4) მისი 7000– ლარიანი (P=7000) ინვესტიცია გახდა 9523.63 ლარი (A=9523.63). რა იყო ამ ინვესტიციის წლიური საპროცენტო განაკვეთი (r)?

·         ჩაწერეთ მოცემული მნიშვნელობები ძირითად ფორმულაში.

·         ამოხსენით მაჩვენებლიანი განტოლება r-ის მიმართ (აქ დაგჭირდებათ ხარისხის ფესვის ამოღება და არა ლოგარითმი, მაგრამ ეს ლოგიკურად აგრძელებს ფინანსურ კონტექსტს და მოითხოვს ალგებრულ მსჯელობასაც). შეიძლება ამოიხსნას ლოგარითმული განტოლების გამოყენებითაც.

·         გამოსახეთ r პროცენტებში (დამრგვალებული მეასედამდე).

ინვესტიციის შედარება და საუკეთესო არჩევანი

ქალბატონი თამარი აღფრთოვანებულია თქვენი დახმარებით და ახლა მას ორი ახალი საინვესტიციო წინადადება აქვს განსხვავებული პირობებით. მას სურს, შეადაროთ ეს წინადადებები და დაეხმაროთ საუკეთესო ვარიანტის არჩევაში. თითოეული შეთავაზება ითვალისწინებს საწყის ინვესტიციას 20000 ლარს (P=20000).

წინადადება A: “მუდმივი ზრდა“

ეს ინვესტიცია ითვალისწინებს წლიურ საპროცენტო განაკვეთს 6.5% (r=0.065), ხოლო პროცენტი ითვლება ყოველწლიურად.

წინადადება B: “აჩქარებული ზრდა“

ეს ინვესტიცია ითვალისწინებს წლიურ საპროცენტო განაკვეთს 6.2% (r=0.062), მაგრამ პროცენტი ითვლება ყოველთვიურად.

ამოცანა 4: ინვესტიციების შედარება 10 წლის შემდეგ

ქალბატონ თამარს აინტერესებს, რომელი წინადადება იქნება უფრო მოგებიანი 10 წლის შემდეგ (t=10).

·         გამოთვალეთ A წინადადების საბოლოო ღირებულება 10 წლის შემდეგ.

·         გამოთვალეთ B წინადადების საბოლოო ღირებულება 10 წლის შემდეგ (არ დაგავიწყდეთ n=12 გამოყენება).

·         შეადარეთ შედეგები და უპასუხეთ, რომელი შეთავაზება უფრო მოგებიანია.

·         პასუხები დაამრგვალეთ თეთრებამდე

ამოცანა 5: დროის განსაზღვრა თანხის გასაორმაგებლად

ქალბატონ თამარს ასევე სურს იცოდეს, რა დრო დასჭირდება თითოეულ ინვესტიციას საწყისი თანხის გასაორმაგებლად (ანუ როდის მიაღწევს ინვესტიციის ღირებულება 40000 ლარს).

·         A შეთავაზებისთვის: ჩაწერეთ განტოლება t-ს მიმართ, როდესაც A=40000. გამოიყენეთ ლოგარითმები t-ს გამოსათვლელად.

·         B შეთავაზებისთვის: ჩაწერეთ განტოლება t-ს მიმართ, როდესაც A=40000. გამოიყენეთ ლოგარითმები t-ს გამოსათვლელად (არ დაგავიწყდეთ n=12 გამოყენება).

·         შეადარეთ შედეგები და უპასუხეთ, რომელი შეთავაზება გააორმაგებს თანხას უფრო სწრაფად.

პასუხები დაამრგვალეთ მეასედამდე .

სადაც:

·         A = ინვესტიციის საბოლოო ღირებულება (მომავალი ღირებულება)

·         P = საწყისი ინვესტიციის ძირითადი თანხა

·         r = წლიური საპროცენტო განაკვეთი (ათწილადი ფორმით, მაგალითად, 5% არის 0.05)

·         t = დრო წლებში

დამატებითი ფორმულა (ყოველთვიური დარიცხვისთვის):

როდესაც პროცენტი წელიწადში n-ჯერ ითვლება (დაირიცხება), ფორმულა იცვლება:

სადაც:

·         A = ინვესტიციის საბოლოო ღირებულება

·         P = საწყისი ინვესტიციის ძირითადი თანხა

·         r = წლიური საპროცენტო განაკვეთი (ათწილადი)

·         t = დრო წლებში

·         n = რამდენჯერ ითვლება პროცენტი წელიწადში (მაგ. ყოველთვიურად n=12, კვარტალურად n=4)

·         თითოეული ამოცანის ამოხსნას ნაბიჯ-ნაბიჯ (ჩვენებით, თუ როგორ გამოიყენეთ ფორმულა და ლოგარითმები/ალგებრა).

·         საბოლოო პასუხებს მკაფიო და გასაგები ფორმით (მაგალითად: „თქვენს ინვესტიციას დასჭირდება X წელი, რომ 12000 ლარს მიაღწიოს“).

·         მკაფიოდ ჩამოაყალიბებთ, რომელი შეთავაზებაა მისთვის საუკეთესო (დამოკიდებულია მის პრიორიტეტებზე – გრძელვადიანი შემოსავალი ურჩევნია თუ თანხის სწრაფი გაორმაგება).

·         ახსნით, რატომ არის პროცენტის დარიცხვის სიხშირე (n) მნიშვნელოვანი ფაქტორი ინვესტიციის ზრდისას, მაშინაც კი, თუ წლიური განაკვეთი ოდნავ დაბალია.

·         მოკლედ შეაჯამებთ, რატომ არის ლოგარითმები სასარგებლო ამ ტიპის ფინანსური გამოთვლებისთვის.

·         მათემატიკური სიზუსტე (50%):

o    განტოლებების სწორად ჩაწერა: რამდენად სწორად არის გადმოტანილი მოცემული ინფორმაცია მათემატიკურ ფორმულებში;

o    ამოხსნის სისწორე: რამდენად ზუსტად არის მიღებული ყველა საბოლოო რიცხვითი პასუხი (A, t, r); სწორად არის თუ არა გამოყენებული დამრგვალების წესები;

o    ლოგარითმული და ალგებრული ოპერაციების სწორად გამოყენება: ლოგარითმული თვისებების, ხარისხისა და ფესვის ოპერაციების სწორად და ეფექტურად გამოყენება განტოლებების ამოსახსნელად.

·         ლოგიკური მსჯელობა და პრობლემის გადაჭრა (25%):

o    ამოხსნის ნაბიჯების თანმიმდევრობა: რამდენად ლოგიკურად და გასაგებად არის წარმოდგენილი ამოხსნის თითოეული ნაბიჯი;

o    ოპტიმალური მეთოდის შერჩევა: რამდენად სწორად არის შერჩეული ამოხსნის მეთოდი თითოეული ამოცანისთვის (მაჩვენებლიანი, ლოგარითმული, ფესვის ამოღება);

o    ალტერნატივების შედარება და დასაბუთება (ამოცანა 4 და 5): რამდენად დასაბუთებულია ინვესტიციების შედარება და მიღებული დასკვნები.

·         ფინანსური რეკომენდაცია და კომუნიკაცია (25%):

o    ანგარიშის/რეკომენდაციის სიცხადე და სტრუქტურა: რამდენად მოწესრიგებულად და გასაგებად არის წარმოდგენილი საბოლოო „ფინანსური ანგარიში“ ქალბატონი თამარისთვის;

o    დასკვნების დასაბუთება: რამდენად კარგად არის ახსნილი, რით სჯობია ერთი შეთავაზება მეორეს ან რატომ არის დარიცხვის სიხშირე მნიშვნელოვანი;

o    ტერმინოლოგიის სწორად გამოყენება: რამდენად სწორად არის გამოყენებული მათემატიკური და ფინანსური ტერმინები.

·         მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები;

·         ლოგარითმის თვისებები:

·         შეგიძლიათ, გამოიყენოთ ნებისმიერი ფუძის ლოგარითმი (მაგ. lg​ ან ln).

გახსოვდეთ, დამრგვალების წესები ფინანსებში მნიშვნელოვანია.