სამოდელო ინოვაციური გაკვეთილი მათემატიკაში

სამოდელო გაკვეთილები ჩვეულებრივი სტანდარტული გაკვეთილებისგან  განსხვავებულია. მთავარი განმასხვავებელი ნიშანი კი ისაა, რომ ის გვთავაზობს გაკვეთილის ჩატარების არასტანდარტულ, ინოვაციურ მიდგომას.

სამოდელო გაკვეთილი შეიძლება იყოს:

1. 1. ინტეგრირებული
2. პრობლემაზე ორიენტირებული
3. გამჭოლი კომპეტენციების განვითარებაზე ორიენტირებული
4. ინოვაციური

ინოვაციური გაკვეთილის მახასიათებლებს წარმოადგენს:

გაკვეთილი იყოს თემატურად ან მეთოდურად ინოვაციური, სიახლე შემოქმედებით და საინტერესოდ იყოს შემოტანილი საგაკვეთილო პროცესში, მასალა თანმიმდევრულად და საინტერესოდ იყოს მიწოდებული მოსწავლეებისთვის, გაკვეთილმა უზრუნველყოს დაგეგმილ შედეგზე/შედეგებზე გასვლა.

ათასწლეულის გამოწვევის ფონდის მიერ ჩატარებულ ტრენინგზე გავეცანი “სასწავლო გაჩერებები”-ს მეთოდს. ამ მეთოდის გამოყენებით გადავწყვიტე ჩამეტარებინა XI კლასში სამოდელო ინოვაციური გაკვეთილი მათემატიკაში თემაზე “მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული ფუნქციების გამოყენების მაგალითები”

გაკვეთილის მიზანი:  ლოგარითმული და მაჩვენებლიანი განტოლებებისა და უტოლობების განხილვა. რეალური პროცესების მათემატიკური მოდელის შედგენა  მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული ფუნქციების თვისებების გამოყენებით  და მათი მოდელების გამოყენების გააზრება

მისაღწევი შედეგი:  მათ.XI.4. მოსწავლეს შეუძლია პრაქტიკული საქმიანობიდან მომდინარე პრობლემების გადაწყვეტა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

იყენებს რიცხვის ხარისხსა და ლოგარითმს, ხარისხისა და ლოგარითმის თვისებებს პრაქტიკული საქმიანობიდან ან მეცნიერების სხვადასხვა დარგებიდან მომდირე ამოცანების ამოხსნისას (მაგალითად, ენტროპია ბიოლოგიასა და ფიზიკაში, რადიოაქტიული დაშლა და დათარიღების მეთოდები);

მათ. XI.5             მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და მათი თვისებების გამოყენება რეალური ვითარების მოდელირებისას.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

იყენებს (ტრიგონომეტრიულ, უბან-უბან წრფივ, საფეხურებრივ, მაჩვენებლიან, ლოგარითმულ) ფუნქციებს და მათ თვისებებს რეალური პროცესების მოდელირებისას;

აქტივობა 1.

საორგანიზაციო საკითხების მოგვარების შემდეგ მოსწავლეებს გავაცანი გაკვეთილის თემა, მიზანი და შეფასების კრიტერიუმები.

აქტივობა 2.

წინარე ცოდნის გააქტიურებისთვის გამოვიყენე შეკითხვების დაფა.  პირველ გრაფაში ჩამოწერილი მქონდა საკითხები, რომლებიც  მჭირდებოდა წინარე ცოდნის გასააქტიურებლად. მეორე გრაფაში საკითხების გასწვრივ მოსწავლეებმა დააფიქსირეს  თავიანთი სახელები, თითოეულ საკითხზე 1, 2 ან 3 მოსწავლე, რომლებმაც უპასუხეს  აღნიშნულ საკითხებს. საჭიროების შემთხვევაში ვუსვამდი შეკითხვებს. ეს დამეხმარა ინტერაქციის გზით  დამედგინა კლასის ცოდნის დონე. ამ შემთხვევაში მოსწავლეებს განუვითარდათ ცოდნის სხვისთვის გაზიარების, საკუთარი აზრის გამოთქმის, თანამშრომლობის უნარები.

საკითხები                  სახელები

მაჩვენებლიანი ფუნქცია                თათული, გვანცა, თამარი

შექცეული ფუნქცია                          ხატია, ანა

ლოგარითმული ფუნქცია               დიმიტრი

თათულიმ, გვანცამ და თამარმა ამომწურავად ისაუბრეს მაჩვენებლიან ფუნქციაზე. განსაზღვრის არე ნამდვილ რიცხვთა R სიმრავლეა, მნიშვნელობათა სიმრავლე დადებით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე. თუ a>1 ფუნქცია ზრდადია, თუ 0<a<1 კლებადია, a-ს ნებისმიერი დადებითი მნიშვნელობისთვის y=a^x ფუნქციის გრაფიკი გადის (0; 1 ) წერტილზე. ააგეს გრაფიკი და ისაუბრეს თვისებებზე.

ხატიამ და ანამ ისაუბრეს,რომ

f : XY ფუნქციას ეწოდება შექცევადი, თუ არგუმენტის განსხვავებულ მნიშვნელობებს შეესაბამება ფუნქციის განსხვავებული მნიშვნელობები. (  (

ვთქვათ, f : XY შექცევადი ფუნქციაა. ფუნქციას, რომელიც f(X) სიმრავლის ყოველ  b ელემენტს შეუსაბამებს a წინასახეს f ფუნქციის შექცეული ფუნქცია ეწოდება და აღინიშნება   -ით.

y=f(x) შექცევადი ფუნქციის შექცეული ფუნქციის მოსაძებნად საჭიროა ამოვხსნათ y=f(x) განტოლება x-ის მიმართ. და შემდეგ x და y ცვლადებს შეუცვალოთ ადგილები.

ურთიერთშექცეული ფუნქციის გრაფიკები სიმეტრიულია y=x წრფის მიმართ.

მუდმივი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ox ღერძის პარალელური წრფეა. მუდმივი ფუნქცია არ არის შექცევადი.

დიმიტრიმ ისაუბრა: ლოგარითმი ხარისხებზე ფიქრის ახალი გზაა. მაგ;  კითხვაზე რომელ ხარისხში აყვანილი 2 უდრის 16-ს?  ეს გამოისახება  ტოლფასია

ზოგადად,   ტოლფასია   ორივე გამოსახულება აღწერს ერთსა და იმავე დამოკიდებულებას a-ს, b-ს  და c -ს შორის.  ლოგარითმული და მაჩვენებლიანი ფუნქციები ურთიერთშექცეული ფუნქციებია, ამასთან თუ f ფუნქციის განსაზღვრის არეა D  და მნიშვნელობათა სიმრავლე E.    -თვის განსაზღვრის არეა E , მნიშვნელობათა სიმრავლე D. თუ a>1 ფუნქცია ზრდადია, თუ 0<a<1 კლებადია,  a>1 ფუნქცია უარყოფითია (0; 1) შუალედში და დადებითია (0;  შუალედში. თუ 0<a<1, ფუნქცია დადებითია (0; 1) შუალედში და არყოფითია (1; ) შუალედში. ააგოო გრაფიკი და ისაუბრა თვისებებზე და ფუძის შეცვლის ფორმულაზე.

მოსწავლეებთან ერთად შევაჯამე აქტივობა.

აქტივობა 3. (მეთოდის “გაჩერებებით სწავლების” ინსტრუქციის გაცნობა)

წინარე ცოდნის გააქტიურების შემდეგ მოსწავლეებს გავაცანი ინსტრუქცია  მეთოდის ,,გაჩერებებით სწავლების“ ძირითადი პრინციპებისა და თანმიმდევრობის შესახებ. ყოველ გაჩერებაზე მოსწავლეები მუშაობდნენ 5წთ-ის განმავლობაში. შემდეგ გადაადგილდნენ საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით წრიულად. შეასრულეს ოთხი  გაჩერება სავალდებულო და არჩევითი დავალებებით, ერთი ალტერნატიული გაჩერება შედარებით სწრაფი ჯგუფისთვის და საინფორმაციო გაჩერება საჭიროების შემთხვევაში. ( თეორიული ნაწილი – რაც შეიძლება დასჭირდეთ მაგ; თვისებები, ფუძის შეცვლის ფორმულა და სხვ.) ოთხი გაჩერების შემდეგ  ჯგუფებმა გააკეთეს პრეზენტაცია.

მოსწავლეები შემთხვევითობის პრინციპით გადანაწილდნენ  ჯგუფებში.

გაჩერება I

სავალდებულო

ანა მანქანის სწრაფად ტარების გამო დაჯარიმდა. თუ ის ჯარიმას ახლა დაფარავს, დამატებით არაფერი ექნება გადასახდელი. თუ ის გადადებს ჯარიმის გადახდას, დამატებითი ჯარიმა დაგვიანებული თვეების რაოდენობა t -ს მიხედვით განისაზღვრება. მისი სრული  ჯარიმა F (ლარებში) მოცემულია ცხრილის მეშვეობით (ეს რიცხვები მაჩვენებლიან ფუნქციას წარმოადგენენ.)

რისი ტოლია F -ის ერთმანეთის მომდევნო მნიშვნელობების საერთო შეფარდება      ———————–

დაწერეთ ამ ფუნქციის ფორმულა ——————————————–

რა თანხა ექნება ანას გადასახდელი, თუ იგი დროულად დაფარავს ჯარიმას? —–

არჩევითი

+ = 320

(< 4

გაჩერება II

სავალდებულო

აფხაზები მოადგნენ ნავებით გურიას. შეებრძოლა და სულ ერთიანად ამოწყვიტა მომხვდურნი გიორგი გურიელის ძემ. იმავე წელს მანუჩარ ათაბაგმა სამცხე ააჯანყა თურქთა წინააღმდეგ. ფეხზე დადგა ბრაზით ბოღმამორეული ოსმალეთის სასულთნო კარი. იპოვეთ ამ ამბების მოხდენის თარიღი, თუ იგი

= 0,5x განტოლების ამონახსნის ტოლია.

არჩევითი

2- 4= 150

გაჩერება III

ტფილისში სადარბაზოდ შეიყარნენ: ქართლის მეფე კონსტანტინე II, კახეთის მეფე ალექსანდრე I გიორგის ძე, იმერეთის მეფე ალექსანდრე I ბაგრატის ძე, სამცხის მთავარი ყვარყვარე ათაბაგი და ხელი მოაწერეს სამარცხვინო ზავს, რომლითაც დაადგინეს საზღვრები, ერთიანი საქართველოს წიაღიდან აღმოცენებული ,,საქართველოებისა“.

იპოვეთ, რომელ წელს მოხდა ,,საქართველოებად“ დაყოფა საქართველოსი, თუ ის თარიღი

lg (  lg (=  lg  + lg 497

განტოლების ამონახსნის ტოლია.

არჩევითი

გაჩერება IV

სავალდებულო

ორმოცდათვრამეტი წლის შაჰ-აბასი ლოგინად ჩავარდა და ერანს მოუკვდა ყველაზე დიდი აღმაშენებელი, ხოლო საქართველოს ყველაზე დიდი დამაქცევარი. დაკრძალეს ძველ ქალაქ ყუმში, ისფაჰანსა და თეირანს შორის.

იპოვეთ შაჰ-აბასის გარდაცვალების თარიღი, თუ იგი

არჩევითი

ალტერნატიული გაჩერება

აღმოაჩინეთ შეცდომა

განტოლება:

თუ გამოვიყენებთ ლოგარითმის ჯამის ნამრავლად გადაყვანის ფორმულას, მივიღებთ

საიდანაც

= 0

= 0       = 4                                    პასუხი: 0; 4.

2. უტოლობა

ამოხსნა:  ლოგარითმული ფუნქცია ერთზე მეტი ფუძით, ზრდადია, ამიტომ ფუნქციის მეტ მნიშვნელობას არგუმენტის მეტი მნიშვნელობა შეესაბამება. ეს ნიშნავს, რომ მოცემული უტოლობიდან გვექნება    2x-2 < x+3

რომლის ამოხსნით მივიღებთ   x < 5

პასუხი: x < 5

ვაკვირდებოდი მოსწავლეების მუშაობის პროცესს, ვეხმარებოდი  მათ საჭიროების შემთხვევაში, ვაძლევდი მითითებებს, ვინიშნავდი  შეცდომებს.

მას შემდეგ, რაც ჯგუფებმა ყველა გაჩერებაზე მიცემული დავალებები შეასრულეს, გააკეთეს პრეზენტაცია მათთვის სასურველ საკითხებზე.

აქტივობა 6.

მეთოდის გაჩერებებით სწავლების გააზრება და ანალიზი. შეფასება და შეჯამება

დავურიგე თვითშეფასების და ურთიერთშეფასების რუბრიკა და ვთხოვე შევსება.

მოსწავლეებმა იმსჯელეს, რით იყო ეს მეთოდი მათთვის მნიშვნელოვანი, რა მოეწონათ, რას შეცვლიდნენ.

მოსწავლეების შეფასებით, მათთვის  გაკვეთილი ინოვაციური  იყო. მათი განმარტებით, სიახლე შემოქმედებითად იყო შემოტანილი საგაკვეთილო სივრცეში. შერჩეული დავალებები საინტერესო იყო, რადგან სავარჯიშოები პრაქტიკული საქმიანობიდან და მეცნიერების სხვადასხვა დარგებიდან იყო მოყვანილი.

გამოყენებული ლიტერატურა:

გ.გოგიშვილი, თ. ვეფხვაძე, ი. მებონია, ლ.ქურჩიშვილი  XI კლასის მათემატიკის სახელმძღვანელო

გ.ლობჟანიძე, ნ. მჭედლიშვილი, ნ.სხირტლაძე, თ. ჯანგველაძე – მათემატიკა

ვ.ქელბაქიანი, თ.მორალიშვილი, ა. ახვლედიანი – მათემატიკის ამოცანათა კრებული

ს.კოლმოგოროვი მე-10-11 კლასის სახელმძღვანელო

გ.ჩაჩანიძე – ალგებრა და საქართველოს მატიანე.

თეიმურაზ ორმოცაძე მათემატიკა- “ვსწავლობთ სხვის შეცდომებზე”