გამოყენება და მოდელირება უმნიშვნელოვანეს როლს ასრულებს მათემატიკური კომპე­ტენციების ჩამოყალიბებისას. მოსწავლის მიერ საჭირო მათემატიკური უნარების გამოყენება სხვადასხვა სახის, მათ შორის რეალური ვითარებების კონტექსტის პრობლემების გადაჭრისას ძალზე მნიშვნელოვანია.

როდესაც საუბარი ეხება გამოყენებას, პროცესი შეიძლება დაიწყოს წმინდა მათემატიკური ცნებით ან პროცედურით და მივიდეს ისეთი რეალური კონტექსტის მქონე ამოცანის ჩამოყალი­ბებამდე, რომელიც მოითხოვს ამ მათემატიკური ცოდნის გამოყენებას. ამ დროს მასწავ­ლებელი სვამს შეკითხვას, თუ სად შეიძლება ამ მათემატიკური ცოდნის გამოყენება. ამას მივყავართ ისეთი სახის ამოცანებამდე, რომლებითაც ხდება მათემა­ტიკური შინაარსის გამოყენების დემონსტრირება.

სწავლებისას ასევე მნიშვნელოვანია შებრუნებული პროცესი, რომლის დროსაც ამოცანის დასმა რეალური ვითარებიდან ხდება. შემდეგ ხდება იმ მათემატიკური ცნებებისა და პროცედურების მოძიება (ან ჩამოყალიბება), რომლებიც საჭიროა ამ პრობლემის გადასაჭრელად. ამ პროცესის მნიშვნელოვანი ნაწილია, მოდელის ანალიზი იმ რეალური პრობლემის კონტექსტში, რომლის გადასაჭრელადაც შეიქმნა ეს მოდელი. ამას შესაძლოა მოჰყვეს მოდელის გაუმჯობესება.

უნდა აღინიშნოს, რომ გამოყენებებისა და მოდელირების ხაზგასმა მათემატიკის სწავლების მნიშვნელოვანი ხელშემწყობი პირობაა. ამასთან შევნიშნავთ, რომ გამოყენება არ ნიშნავს იმას, რომ ცოდნის გამოყენების კონტექსტი აუცილებლად უნდა იყოს რეალურ ვითარებასთან დაკავშირებული ამოცანები. საზოგადოდ შეიძლება გამოიყოს სამი ტიპის გამოყენებითი შინაარსის მქონე ამოცანები.

პირველი ტიპიმოიცავს ისეთ ამოცანებს, რომლებშიც ხდება მათემატიკის ერთ სფეროსთან დაკავშირებული ცოდნის გამოყენება მათემატიკის მეორე სფეროსთან დაკავ­შირებულ საკითხებში. ამის მაგალითია ალგებრული ტექნიკის გამოყენება გეომეტ­რიული ამოცანების ამოხსნისას ან პირიქით – გეომეტრიული წარმოდგენების გამოყენება ალგებრულ შინაარსის ამოცანებში.

მეორე ტიპისამოცანები ისეთი ამოცანებია, რომლებიც წმინდა მათემატიკური ხასიათისაა, მაგრამ მათი ჩამოყალიბება ხდება სიტყვიერად აღწერილ რეალურ ვითარე­ბასთან მიმსგავსებულ კონტექსტში. ამ სახის ამოცანები ტრადიციულად მრავლად გვხვდება სასკოლო მათემატიკის კურსებსადა სახელმძღვანელოებში. ამის მაგალითია, ე.წ. „ტექსტური ამოცანები”, რომელთა ამოხსნისას საჭიროა განტოლების ან ალგებ­რული გამოსახულების შედგენა.

მესამე ტიპისამოცანები დაკავშირებულია ავთენტურ რეალურ ვითარებებთან. ამ ამოცანებში, მოსწავლეს უნდა შეეძლოს რეალური პრობლემის მკაფიოდ გამოკვეთა და მისი „თარგმნა” მათემატიკურ ენაზე. ამასთან, ხშირად არ არსებობს ამ სახის პრობლემის გადაჭრის ცალსახად განსაზღვრული გზები და ხერხები. ასევე,არ არის ცალსახად განსაზღვრული ცოდნის ის სფერო, რომელიდანაც უნდა მოხდეს ამოცანის ამოსახს­ნელად საჭირო მათემატიკური აპარატის შერჩევა. ტექსტური ამოცანებისგან განსხვა­ვებით, ამ სახის პრობლემებში, თვით შეკითხვაც კი არ არის მკაფიოდ ფორმულირებული და ამოსახსნელად „გამზადებული”. ხოლო,რაც შეეხება მათემატიკურ აპარატს, ზოგჯერ საჭირო ხდება არა მხოლოდ მისი მოძიება უკვე არსებულ რესურსებს შორის, არამედ ახალი მათემატიკური პროცედურის მოფიქრება ამოცანის ამოსახსნელად. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ არ არის აუცილებელი ამ სახის ამოცანების უშუალო წყარო ყოველთვის რეალობა იყოს. მათი ჩამოყალიბება შესაძლებელია სხვადასხვა რეალური ამოცანების მოდიფიკაციის ან კომბინირების გზით, რასაც ხშირად ახერხებს გამოცდილი და მდიდარი შემოქმედებითი უნარების მქონე მასწავლებელი.

როდესაც საუბარია მოდელირებაზე და მის გამოყენებაზე პედაგოგიური მიზნებისათვის, მნიშვნელოვანია მოდელის შეფასება. ეს კი გულისხმობს მოდელისშეფასების კომპო­ნენტების გათვალისწინებას:

1. მოდელის კორექტულობის, ლოგიკურად გამართულობის შემოწმება;
2. იმის შემოწმება, თუ რამდენად აკურატულად ასახავს მოდელი რეალური სტრუქ­ტურის შემადგენელ ნაწილებსა და პარამეტრებს;
3. იმის შემოწმება, თუ რამდენად ადეკვატურად (მიზნის შესაბამისად) ასახავს მოდელი რეალური სტრუქტურის შემადგენელ ნაწილებს და პარამეტრებს;
4. რამდენად ითვალისწინებს მოდელი გარეშე ფაქტორების ზემოქმედებას. მოდელისა და ექსპერიმენტული მონაცემების არასაკმარისი შესაბამისობის მიზეზის დადგენა (ექსპერიმენტის არასრულყოფილება, მოდელის არასრულყოფილება);
5. მოდელის ეფექტიანობის განსაზღვრა (მათ შორის მისი გამოყენებადობა);
6. მოდელის გამოყენების შედეგების შესაბამისობა რეალურ ვითარებაში მიღებულ მონაცემებთან;
7. რამდენად ითვალისწინებს მოდელი ზღვრულ შემთხვევებს;
8. რამდენად მარტივია/რთულია ამოცანისა თუ ვითარების მიხედვით მოდელის მოდი­ფიცირება (მაგ. შედეგების სიზუსტის გაუმჯობესება პარამეტრების ან/და სტრუქტუ­რული ელემენტების რაოდენობის გაზრდით);
9. რამდენად მარტივია/რთულია მოდელით გათვალისწინებული პარამეტრების დაკვირვება/გაზომვა;
10. მოდელის თავსებადობა მონათესავე / მოსაზღვრე სფეროებში არსებულ მოდელებთან.

ნიმუში: ბანკომატის მოდელის დამზადება

განვიხილოთ ასეთი ამოცანა: საჭიროა დავამზადოთ ბანკომატი (ფულის გასაცემი მოწყობილობა). გარდა მისი გამართულად მუშაობისა, ძირითადი მოთხოვნაა, რომ მან დახარჯოს მასში ჩალაგებული ბანკნოტების რაც შეიძლება მცირე რაოდენობა, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში საჭირო გახდება მისი ხშირად შევსება. მაგ. თუ დარჩა მხოლოდ 20 და 50-ლარიანი ბანკნოტები, მაშინ 30 ლარის გაცემა შეუძლებელი იქნება.

მიმდინარეობა

სამუშაოს საფეხურების მიხედვით მოსწავლეებს ეძლევა ასეთ დავალებები:

1. ჩამოწერეთ რა ღირებულების ბანკნოტებია (”ქაღალდის” ფული) საქართ­ველოში ხმარებაში (ამ ეტაპზე საკმარისია შემოვიფარგლოთ 100 ლარზე ნაკლები თანხით, რადგან გარდა იმისა, რომ ეს გააადვილებს გამოთვლებს, ადვილი შესამჩნევია, რომ უფრო მაღალი ღირებულების ბანკნოტებისადა დიდი თანხების განხილვა პრინციპულად არაფერს ცვლის);
2. განიხილეთ რამდენიმე კერძო მაგალითი. როგორ გასცემდით 1, 2, 3, … 9 ლარის ტოლ თანხას? ამ კერძო შემთხვევებიდან თითოეულისთვის მოსწავლეებმა უნდა მოახერხონ თანხის ისე”დაშლა”, რომშესაძლებელი გახდეს ბანკნოტების უმცირესი რაოდენობისგამოყენება;
3. როგორ ჩამოაყალიბებდით ამ ამოცანას მათემატიკურად?
4. სასურველია ეს კერძო შემთხვევები აღინუსხოს რომელიმე ფორმით. 20-ის ფარგლებში ყოველი რაოდენობისათვის, ჩამოვწეროთ რიცხვების დაშლის შესაძლო ვარიანტები (დაშლაში მონაწილეობენ მხოლოდ ბანკნოტების შესაბამისი რიცხვები). როგორი დიზაინია უკეთესი მათ ჩასაწერად (რომ უკეთ შევამჩნიოთ კანონზომიერება)? ამ დროს არ არის აუცილებელი ყველა შესაძლო ვარიანტის ჩამოწერა, რადგან თითქმის ყველა მოსწავლე ხვდება რომ მაგ., 10=1+1+1+1+2+2+2 დაშლა არ ვარგა;
5. რა კანონზომიერებას ამჩნევთ? რომელ დაშლაში გამოიყენება ყველაზე ნაკლები რიცხვი? (ჰიპოთეზა: მოცემული რიცხვისათვის ოპტიმალური დაშლა მიიღება, თუ დავიწყებთ უდიდესი რიცხვით, რომელიც ამ რიცხვზე ნაკლებია და ყოველ შემდგომ ნაბიჯზე იმავეს გავი­მეორებთ);
6. მას შემდეგ,რაც პრობლემა ემპირიული გზით გადაიჭრა 20-ის ფარგლებში, სასურველია ვიფიქროთ მის განზოგადებაზე. გამოდგება თუ არა იგივე ხერხი 20-ზე დიდი რიცხვე­ბისათვის? ამ შემთხვევაში ემპირიული გზა ნაკლებად გამოსადეგია, რადგან რიცხვების რაოდენობა დიდია და ყველას დაშლა და მათი ჩამოწერა არაეფექტურია. ამიტომ მოსწავლეებს შევთავაზოთ,დაასაბუთონ ამ ხერხის ვარგისიანობა. ამისათვის მათ უნდა გაიარონ გარკვეული საფეხურები;
7. ალგორითმის ჩამოყალიბების შემდეგ სასურველია მისი რეალიზაცია ელექტრონული ცხრილის საშუალებით. სავარაუდოდ ეს მოსწავლეებს გაუჭირდებათ, მაგრამ სამუშაო შესრულდება მასწავლებელთან ერთად.

მონეტარული სისტემის ანალიზი

აქ აღწერილ ალგორითმსადა შესაბამის მოდელს, შეიძლება დავუკავშიროთ ასეთი ამოცანა: დავუშვათ ხურდის გაცემისას სავაჭრო დაწესებულებებში იყენებენ იმავე ალგორითმს, რომელიც გამოვიყენეთ ბანკომატის მუშაობისას.ხურდის დაბრუნების დროს, როგორც წესი, ყოველი დასაბრუნებელი თანხისათვის პირველ რიგში გაიცემა ის ფულის ნიშნები, რომელთა ღირებულება ყველაზე მაღალია გასაცემ თანხაზე ნაკლებ ფულის ნიშნებს შორის. რომელი ფულის ნიშნები იქნება ყველა ხშირად ბრუნვაში?

მიმდინარეობა

განვიხილოთ საქართველოში არსებული მონეტები და სიმარტივისათვის ვიგუ­ლისხმოთ,რომ ხურდა ყოველთვის ზუსტად გაიცემა.

1. წინა დავალებაში ჩვენ შევქმენით ბანკომატი – მოწყობილობა, რომელიც თანხას გასცემს. ამჩნევთ თუ არამსგავსებასამ მოწყობილობასა და გამყიდველის ქცევას შორის, როდესაც იგი გიბრუნებთ ხურდა ფულს? (უმეტესწილად, გამყიდველი ცდილობს,რაც შეიძლება ნაკლები მონეტაგასცეს, რადგან შემდგომში ხურდის დაბრუნება არ გაუჭირდეს).
2. ვივარაუდოთ, რომ 100 ლარის ფარგლებში ნებისმიერი თანხის ხურდის სახით გაცემის სიხშირე დაახლოებით ერთნაირია. როგორ დავადგინოთ,რომელი ბანკნოტი (ან მონეტა) გაიცემა დახურდავებისას ყველაზე ხშირად?
3. გამოიყენეთ ბანკომატის შემთხვევაში შედგენილი ალგორითმი და შეადგინეთ ცხრილი, რომელშიც მოცემული იქნება ამა თუ იმ ღირებულების რამდენი მონეტა გამოიყენება თითოეული თანხის შემთხვევაში;
4. შეაჯამეთ რაოდენობები სვეტებში. მივიღეთ, რომ 2 ყველაზე ხშირად გვხვდება. რატომ? სავარაუდოდ, მოსწავლეთა უმეტესობა ამ შეკითხვას დამოუ­კიდებლად პასუხს ვერ გასცემს. თუმცა შეიძლება მივუთითოთ, რომ იპოვონ შეფარდებები ორ მომდევნო რიცხვს შორის. რის შემდეგაც აღმოჩნდება, რომ ყოველი რიცხვის შეფარდება წინასთან 2-ის ტოლია, 5/2=2.5 ის გარდა.
5. შეეცადეთ ახსნათ,რატომ იწვევს ეს ”მაღალი” შეფარდება 2-ის სიხშირის გაზრდას. როდესაც რომელიმე ფულის ნიშანი ყველაზე ხშირადაა ხმარებაში,ეს იწვევს მის ცვეთას. ეს ხომ არ არის მიზეზი იმისა, რომ 2-ლარიანი ქაღალდის ფული შეიცვალა ლითონის მონეტით? რა თქმა უნდა,ეს მხოლოდ ვარაუდია და საჭიროა კვლევის ჩატარება, მართლაც ყველაზე მაღალია თუ არა 2-ლარიანის სიხშირე რეალობაში.

ბანკომატის მოდელის შეფასება

აღწერილ აქტივობას ასევე ბუნებრივად მოსდევს შეკითხვა და მასთან დაკავშირებული აქტივობა: ყველა ქვეყანაში გამოდგება თუ არა ჩვენ მიერ შექმნილი ბანკომატი?

მიმდინარეობა

1. ალგორითმი, რომელსაც ჩვენ ბანკომატის მუშაობისას ვიყენებთ,კარგად მუშაობს როდესაც ბანკნოტების ერთობლიობაა 1, 2, 5, 10, 20, 50. ბანკნოტების ნებისმიერი ერთობლიობისათვის გამოდგება თუ არა იგი? მოიფიქრეთ კონტრმაგალითი (მაგალითად: როდესაც ფულის ნიშნებია 1, 3, 4, 25, ჩვენი ალგორითმით გვაქვს 6=4+1+1, მაშინ როდესაც შესაძლებელია ასე: 6=3+3).
2. რა არის იმის მიზეზი, რომ ამ შემთხვევაში ალგორითმი არ მუშაობს?
3. როგორ მოახდენდით ალგორითმის მოდიფიცირებას ამ შემთხვევაში?
4. ამის შემდეგ ფოკუსი შეიძლება შევცვალოთ და შეფასების ობიექტად ავირჩიოთ თვითონ მონეტარული სისტემა. გამოვიყენოთ მონეტარული სისტემის ანალიზის ის სქემა, რომელიც უკვე გვაქვს. ვთქვათ უფლება გვაქვს დავამატოთ ერთი ახალი ღირებულების ბანკნოტი. რომელს დაამატებდით,თუ ჩვენი ბანკომატის გამოყენებაგვინდა?
5. რას გამოიწვევდა ახალი ბანკნოტის დამატება, არამარტო ბანკომატის გამოყენების თვალსაზრისით, არამედ ხმარებაში არსებული ბანკნოტების სიხშირეების გადანა­წილების თვალსაზრისით?
6. იცნობთ თუ არა ისეთ ქვეყანას რეალობაში, სადაც ჩვენი ბანკომატი არ გამოდგება? მოიძიეთ სხვადასხვა ქვეყნის მონეტარული სისტემები და დაადგინეთ,სად გამოდგება ჩვენი ბანკომატი და სად არა?

დასკვნა

როგორც ვხედავთ, როდესაც მათემატიკური მოდელის შექმნა დაკავშირებულია ავთენტურ ამოცანასთან, იგი მოიცავს სხვადასხვა სასწავლო აქტივობების ფართო სპექტრს. მათ შორისაა:პროექტის სახის აქტივობა, რომელიც დაკავშირებულია მონაცემების შეგროვებასა და ანალიზთან; ინფორმაციული და საკომუნიკაციო ტექნოლოგიების გამოყენება, რომლის დროსაც ხდება რეალობის სიმულაცია, შედეგებზე დაკვირვება და რეალურ მონაცემებთან შედარება; მსჯელობა-დასაბუთება, რომელიც საჭიროა შედგენილი ალგორითმის სისწორის დასამტკიცებლად; მოდელის შეფასება და მისი უნივერსალურობის დადგენა. გარდა ამისა, ეს აქტივობები მოითხოვს სხვადასხვა მიმართულებების და დისციპლინების ურთიერთ­დაკავშირებას.

ლიტერატურა

1. “MathematicalApplicationsandModelling”, Yearbook 2010, Association of Mathematics Educators, editors: Berinderjeet Kaur and Jaguthsing Dindyal, National Institute of Education, Singapore
2. Beck, M. and Robins, S. “The Coin-Exchange Problem of Frobenius”
3. Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy, “Winning Ways for Your Mathematical Plays”
4. Wilf, H. “A Circle of Lights Algorithm for the ‘Money Changing Problem.'”, Amer. Math. Monthly 85, 562-565, 1978
5. J. Shallit, “What this country needs is an 18c piece” (PDF). Mathematical Intelligencer 25 (2): 20–23
6. Robert Sedgewick, Kevin Wayne, “Algorithms”, Princeton University