ლოგიკა როგორც დამოუკიდებელი სასწავლო თემა მათემატიკის სწავლებისას

შესავალი

არავისთვის საკამათო არ არის ის,
რომ მასწავლებელი უნდა ზრუნავდეს იმაზე, რომ მოსწავლეებს ჩამოუყალიბდეთ ლოგიკური აზროვნება.
მიუხედავად იმისა, რომ ამის შესახებ ნათქვამია ყველა სახის სასწავლო გეგმაში და მეთოდიკურ
ლიტერატურაში, როგორც წესი, თითქმის არ არის იმ პედაგოგიური ხერხების და სტრატეგიების
სისტემატური გადმოცემა, რომელთა გამოყენებითაც უნდა მოხდეს ლოგიკური აზროვნების უნარ-ჩვევების
ჩამოყალიბება-განვითარება. ამის შედეგია ის რომ ლოგიკური აზროვნების განვითარება მიმდინარეობს
სტიქიურად და მოსწავლეთა უმეტესობა, მათ შორის უფროსკლასელები სრულყოფილად არ ფლობენ
ლოგიკური აზროვნების კომპეტენციებს (აბსტრაგირება, ინდუქცია, დედუქცია, უარყოფა და
ა.შ.).

მათემატიკის როლი ლოგიკური აზროვნების
განვითარებისას განსაკუთრებით დიდია. ამის ძირითადი მიზეზი ისაა რომ მათემატიკა ყველაზე
„თეორიული”  საგანია. მათემატიკური ფაქტების
შემოწმების ერთადერთი ხერხია მათი დასაბუთება ისეთი მსჯელობით, რომელიც ეფუძნება ლოგიკის
წესებს. მართალია ხშირად საუბარია ე.წ. ექსპერიმენტულ მათემატიკაზე, რომლის ფარგლებშიც
კანონზომიერების დადგენა ან შემოწმება ხდება კანონზომიერების აღმწერ მოდელში დიდი რაოდენობის
კონკრეტული მონაცემების შეტანით, მაგრამ ასეთი „ექსპერიმენტები” გამოიყენება ძირითადად
ჰიპოთეზის ჩამოყალიბებისათვის ან დებულების დასაბუთებისას მოსალოდნელი შეცდომის აღმოჩენის
მიზნით. მათემატიკური ფაქტი ჭეშმარიტად ვერ ჩაითვლება, თუ მისი აღმოჩენა არ დაგვირგვინდა
მისი მკაცრი ლოგიკური დასაბუთებით.

არსებობს მათემატიკის ზოგიერთი მიმართულება,
რომლებიც დაკავშირებულია ისეთი ხერხების ჩამოყალიბებასთან, რომელთა დანიშნულებაა რაღაც
რაოდენობის მონაცემთა საფუძველზე დასკვნების გამოტანა არა მკაცრი ლოგიკური მსჯელობის
საფუძველზე, არამედ ალბათური და არადეტერმინისტური მოდელების საშუალებით. ეს მიმართულებებიასტატისტიკა და ალბათობა. მიუხედავად ამისა, ამ მიმართულებებში შემუშავებული ხერხები მაინც
ეყრდნობა ლოგიკის კანონებს. უფრო ზუსტად – მათი საშუალებით ხდება არა რომელიმე დებულების
ჭეშმარიტების დადგენა, არამედ ალბათობის შეფასება. მაგალითად, დავუშვათ ყუთში გვაქვს
100 ბურთულა, რომელთა ნახევარი შავი ფერისაა, ხოლო მეორე ნახევარი – თეთრი ფერის და
ამ ყუთიდან ვიღებთ 50 ბურთულას. ყოველდღიური სასაუბრო ენის სიმკაცრის ფარგლებში შეგვიძლია
ვთქვათ, რომ ამოღებულ 50 ბურთულას შორის იქნება
როგორც თეთრი ასევე შავი ფერის ბურთულები
, ხოლო მათემატიკურად მკაცრი გამონათქვამი
იქნება ასეთი: ალბათობა იმისა, რომ ამოღებული
ბურთულები იქნება მხოლოდ ერთი ფერის არის ძალიან მცირე, კერძოდ, ეს ალბათობაა




ამიტომ, შეიძლება ითქვას, რომ მათემატიკაში
თვით განუზღვრელობის ცნებასაც კი ესაჭიროება მკაცრი ლოგიკური საფუძველი.

არსებობს ლოგიკური მსჯელობა-დასაბუთების
უნარის განვითარების ორი ხერხი: წმინდა ლოგიკური შინაარსის სავარჯიშოების მიზნობრივი
გამოყენება და ლოგიკური მსჯელობა – დასაბუთების ხერხებზე ფოკუსირება ისეთ ამოცანებში,
რომლებიც დაკავშირებულია მათემატიკის სხვადასხვა მიმართულებებთან. ეს ორივე ხერხი საკმაოდ
შედეგიანია და ალბათ სასარგებლო იქნება ორივე მათგანის გამოყენება სასწავლო პროცესში.

მართალია ე.წ. ლოგიკური ამოცანების
ამოხსნა დაწყებითი საფეხურის მოსწავლისათვის ასაკობრივად შეუსაბამო აქტივობაა, მაგრამ
ლოგიკური მსჯელობის უნარის განვითარების მიზნით მოსწავლეს შეიძლება ჯერ კიდევ დაწყებით
საფეხურზე მოვთხოვოთ სასაუბრო ენის ზუსტად გამოყენება საკუთარი აზრების ჩამოყალიბების
დროს. აქედან გამომდინარე, შეიძლება ითქვას რომ ლოგიკა როგორც იმ კანონების ერთობლიობა,
რომლებიც უნდა დავიცვათ მსჯელობის დროს, არ შემოიფარგლება მხოლოდ მათემატიკით. შეიძლება
ითქვას რომ მსჯელობა-დასაბუთება წარმოადგენს ე.წ. გამჭოლ კომპეტენციას, რომლის ჩამოყალიბებას
ხელი უნდა შეუწყოს თითქმის ყველა სასკოლო დისციპლინამ.

 

ფორმალური
ლოგიკის აბსტრაქციის დონის შემცირება

მათემატიკური ლოგიკა (სიმბოლური ლოგიკა,
ფორმალური ლოგიკა) არის მათემატიკის ერთ-ერთი მიმართულება, რომელსაც მჭიდრო კავშირი
აქვს მათემატიკის საფუძვლებთან, კომპიუტერულ მეცნიერებასთან და ფილოსოფიურ ლოგიკასთან.
ეს მიმართულება მოიცავს როგორც თვით ლოგიკის კანონების შესწავლას, ასევე ფორმალური
ლოგიკის გამოყენებას მათემატიკის სხვა მიმართულებებში. ისტორიის მანძილზე ლოგიკის თეორიები
წარმოიშვა რამოდენიმე სხვადასხვა კულტურაში, მათ შორის ჩინეთში, ინდოეთში, საბერძნეთში
და ისლამურ სამყაროში.
XVIII საუკუნის ევროპაში
ფორმალური ლოგიკის ოპერაციების სიმბოლური და ალგებრული რეალიზაციის მცდელობა ჰქონდათ
ისეთ ფილოსოფიური განხრის მათემატიკოსებს, როგორებიცაა ლეიბნიცი და ლამბერტი, თუმცა
მათი ნაშრომები ამ მიმართულებით ნაკლებად ცნობილია.

მათემატიკური ლოგიკა თანამედროვე
სახით წარმოიშვა
XIX საუკუნის შუაში. იგი ჩამოყალიბდა
როგორც დამოუკიდებელი მიმართულება. მას წინ უსწრებდა ლოგიკის ნაკლებად ფორმალიზებული
თეორია, რომელიც ძირითადად რიტორიკის და ფილოსოფიის თემა იყო. თანამედროვე მათემატიკაში
გაჩნდა თვით ლოგიკის მრავალი სხვადასხვა ქვემიმართულება: კლასიკური ლოგიკა, კვანტური
ლოგიკა, არამკაფიო ლოგიკა და ა.შ. ყველა მათგანის წარმოშობა დაკავშირებულია შესაბამის
მათემატიკურ მოდელთან. როგორც ხშირად ხდება მათემატიკაში, ესა თუ ის თემატიკა წარმოშობიდან
რაღაც პერიოდის შემდეგ დამოუკიდებელ მიმართულებად ყალიბდება. ასე რომ, მართალია ფორმალური
ლოგიკა წარმოიშვა როგორც მსჯელობა-დასაბუთების ვალიდურობის შეფასების წესების ერთობლიობა,
თანამედროვე ფორმალური ლოგიკა გულისხმობს აბსტრაქციის მაღალ დონეს, რომელიც საკმაოდ
დაშორებულია სასკოლო მათემატიკისაგან.

ფორმალური ლოგიკის აბსტარქციის დონის
შესამცირებლად სასურველია რომ მისი კანონები დავუკავშიროთ ნაკლებად აბსტრაქტულ ცნებებს.
ამის ერთ-ერთი ხერხია რომ იგი დავუკავშიროთ სიმრავლეებს, სიმრავლეებზე მოქმედებებს
და მათ თვისებებს.


მაგალითად ფორმალური ლოგიკის ოპერაცია
– გამომდინარეობა, უკავშირდება ქვესიმრავლის ცნებას: გამონათქვამის უარყოფა უკავშირდება
სიმრავლის დამატებას; ორი გამონათქვამის დაკავშირება „და” კავშირით (კონიუნქცია) –
ორი სიმრავლის თანაკვეთას; ორი გამონათქვამის დაკავშირება „ან” კავშირით (დიზუნქცია)
– ორი სიმრავლის გაერთიანებას; ორი გამონათქვამის ეკვივალენტობა – ორი სიმრავლის ტოლობას.
მართალია სიმრავლეთა თეორია თავისთავად მოიცავს აბსტრაქციის საკმაო დონეს, მაგრამ მისი
ცნებების გააზრება უფრო მარტივია, მითუმეტეს თუ შემოვიფარგლებით სასრული სიმრავლეებით,
რომლებიც შედგება მოსწავლისათვის ადვილად აღსაქმელი ელემენტებისაგან.


რომ შევაჯამოთ, შეიძლება ითქვას რომ
მოსწავლისათვის ლოგიკური მსჯელობის უნარის განვითარებისათვის და ლოგიკის კანონების
დაცვის ჩვევის ჩამოყალიბებისათვის შესაძლებელია რამოდენიმე პედაგოგიური ხერხის გამოყენება.
ერთი ხერხი მდგომარეობს იმაში, რომ ლოგიკა გახდეს გამჭოლი კომპეტენცია (არა მხოლოდ
მათემატიკის სხვადასხვა მიმართულებებს შორის) და ლოგიკის კანონების ხაზგასმა მოხდეს
იმის მიუხედავად, თუ რა თემატიკასთანაა დაკავშირებული მსჯელობა – დასაბუთების კონკრეტული
შემთხვევა. მეორე ხერხი შეიძლება იყოს ე.წ. ლოგიკური სავარჯიშოები, რომლებშიც მოსწავლეს
მოეთხოვება სხვადასხვა ლოგიკური მანიპულაციების ჩატარება სხვადასხვა შინაარსის გამონათქვამებზე
და ლოგიკური ცნებების გააზრება ამ გამონათქვამების კონტექსტში. ამ ორივე ხერხის გამოყენება
შესაძლებელია ჯერ კიდევ დაწყებით საფეხურზე. გარდა ამისა, სწავლების მაღალ საფეხურზე
შესაძლებელია ლოგიკის და მისი კანონების დაკავშირება სიმრავლეთა თეორიის ცნებებთან
და სიმრავლურ მოქმედებებთან. ეს ხელს შეუწყობს ლოგიკის კანონების უკეთ გააზრებას და
მათ დაკავშირებას მათთვის ნაცნობ კონტექსტთან.

კომენტარები

comments