მედიანა და საშუალო – მათი გეომეტრიული შინაარსი

I.სამოტივაციო ამოცანა

პრაქტიკაში საკმაოდ გავრცელებულია ასეთი სახის ამოცანა: საჭიროა შეირჩეს ისეთი ადგილი (მაგალითად, საწყობი), რომლიდანაც რამოდენიმე მოცემულ პუნქტამდე მანძილების ჯამი არის უმცირესი.

შეკითხვა: როგორ მოვძებნოთ ასეთი წერტილი?

II. გამარტივება

დავუშვათ ეს წერტილები არიან ერთ წრფეზე.

I საფეხური

განვიხილოთ 2 წერტილი.

მოსწავლეები იკვლევენ 2 წერტილის შემთხვევას და მივლენ იმ დასკვნამდე, რომ უმცირესი ჯამი მიიღება იმ შემთხვევაში, როდესაც „საწყობი” მოთავსებულია ამ ორ წერტილს შორის.

II საფეხური

2 წერტილის შემდეგ შესაძლებელია მსჯელობა წარიმართოს 3 წერტილის შემთხვევაზე.

III საფეხური

განზოგადება, რის შემდეგაც ვაყალიბებთ დასკვნას: რიცხვითი მონაცემების მედიანა (სტატისტიკური მახასიათებელი) არის წერტილი (რიცხვი), რომლიდანაც მანძილების ჯამი ამ რიცხვებამდე არის უმცირესი.

IV საფეხური

შედარება რიცხვით მონაცემთა მეორე მახასიათებელთან – არითმეტიკულ საშუალოსთან.

III. ვუბრუნდებით თავდაპირველ ამოცანას (გეომეტრია)

განვიხილოთ 3 წერტილის შემთხვევა.

მოცემული სამკუთხედისათვის რომელია ის წერტილი, რომლიდანაც მანძილების ჯამი სამკუთხედის წვეროებამდე უმცირესია?

რადგან წრფის შემთხვევაში შემოვიდა ტერმინი „მედიანა”, ამიტომ ბუნებრივია დაიბადოს ჰიპოთეზა: ეს წერტილი არის სამკუთხედის მედიანების გადაკვეთის წერტილი.

აქ შეიძლება დაიწყოს ექსპერიმენტის და დაკვირვების საფეხური. ავაგოთ დინამიური ნახაზი GeoGebra-ში. შეიძლება გამოვიყენოთ ელექტრონული ცხრილი (View -> Spreadsheet და შემდეგ Copy to Spreadsheet). დაკვირვების შედეგად ჩანს, რომ მედიანების გადაკვეთის წერტილი სულაც არ არის ისეთი, რომლიდანაც მანძილების ჯამი უმცირესია.

ნახაზიდან ჩანს, რომ მანძილების ჯამი აღემატება JC მონაკვეთის სიგრძეს. ამიტომ როგორმე უნდა მოვახერხოთ, რომ ტეხილის ყველა მონაკვეთი განთავსდეს JC მონაკვეთზე.

ანალოგიური კონსტრუქცია შევადგინოთ BC გვერდისთვის. ამის შემდეგ, გამოჩნდება, რომ როდესაც საძიებელი წერტილი ემთხვევა JC და KA მონაკვეთების გადაკვეთას, მაშინ არის მანძილების ჯამი უმცირესი.

ამ წერტილს, სამკუთხედისათვის ეწოდება ფერმას წერტილი. იგი არის მოცემული სამკუთხედის გვერდებზე აგებული წესიერი სამკუთხედების წვეროებისა და მოცემული სამკუთხედის წვეროების შემაერთებელი მონაკვეთების საერთო წერტილი.

ამ საფეხურზე მოსწავლეს შეიძლება დავავალოთ იმის დასაბუთება, რომ ეს მონაკვეთები ერთ წერტილში იკვეთება.

მიუხედავად ფორმულირების სიმარტივისა, ზოგად შემთხვევაში ამ ამოცანას არ გააჩნია ამ სახის გეომეტრიული ამოხსნა და იგი იხსნება მიახლოების ალგორითმების საშუალებით.

IV. ვუბრუნდებით მცდარ ჰიპოთეზას

რა არის სამკუთხედის მედიანების გადაკვეთის წერტილი?

აქ შეიძლება დავუბრუნდეთ რიცხვითი მონაცემების შემთხვევას.

შეკითვა: თუ მედიანა ისეთი რიცხვია, რომლის ჯამური გადახრა მონაცემებისაგან უმცირესია, რა სიდიდე ხდება უმცირესი საშუალო მნიშვნელობის შემთხვევაში?

ამ შეკითხვაზე მოსწავლეთა უმეტესობა დამოუკიდებლად ვერ პასუხობს. თუმცა ორი მონაცემის შემთხვევაში შესაძლებელია დავეყრდნოთ მათ ცოდნას ალგებრიდან და დამოუკიდებლად აღმოაჩინონ რომ გამოსახულების მნიშვნელობა უმცირესია, მაშინ როდესაც . იმ შემთხვევაში, როდესაც ამ სახის ალგებრული ამოცანები, გამოსახულების უმცირესი/უდიდესი მნიშვნელობის მოძებნაზე წინ უსწრებს ამ საკითხს, ბევრი მოსწავლე დამოუკიდებლად მიდის საჭირო დასკვნამდე.

ამ ფაქტის გადატანა გეომეტრიაში საკმაოდ მარტივია, თუ გამოვიყენებთ კოორდინატებს: მედიანების გადაკვეთის წერტილი არის ისეთი წერტილი, რომლიდანაც სამკუთხედის წვეროებამდე მანძილების კვადრატების ჯამი არის უმცირესი.

V. შეჯამება

რიცხვითი მონაცემების შემთხვევაში მედიანა არის ის რიცხვი, რომლიდანაც ჯამური გადახრა ამ მონაცემებისაგან არის უმცირესი, ხოლო საშუალო არის ის რიცხვი, რომლიდანაც ჯამური კვადრატული გადახრა არის უმცირესი.