რიცხვთა თეორიის წარმოშობისა და მისი სწავლების მეთოდიკის ისტორიული მიმოხილვა

რიცხვთა თეორია მათემატიკის დარგია, რომელიც სწავლობს მთელ რიცხვთა თვისებებს და კანონზომიერებებს. რიცხვთა თეორიაში, ბუნებრივია, ჩართულია ალგებრულ რიცხვთა თეორიაც, კანონზომიერებებით მდიდარი რიცხვთა თეორიის ის ნაწილი, რომელიც სწავლობს განუსაზღვრელი განტოლებების, ე.წ. დიოფანტური განტოლებების, მთელი რიცხვების სიმრავლეში ამოხსნადობის საკითხს.

ჩვენამდე მოღწეული თხზულების მიხედვით ირკვევა, რომ დიოფანტეს (ძვ. წ. III საუკუნე) სახელს უკავშირდება ასოითი სიმბოლოების შემოღების პირველი მცდელობა, ალგებრის დაკავშირება არა გეომეტრიასთან, როგორც ევკლიდესთან იყო, არამედ არითმეტიკასთან – უარყოფითი რიცხვების გამოყენებასთან. დიოფანტე იკვლევდა მთელ რიცხვებში წრფივ და უფრო მაღალი ხარისხის მთელკოეფიციანტიანი განტოლებების – ე. წ. განუსაზღვრელი განტოლებების – ამოხსნადობის პოვნის საკითხს.

რიცხვთა თეორიის განვითარების სხვადასხვა ეტაპზე სხვადასხვა მეცნიერს სხვადასხვა დამსახურება მიუძღვის. მათ შორის აღსანიშნავია:

პიერ ფერმა (1602-1665) – ფრანგი მათემატიკოსი. ის იყო ერთი მათგანი, ვინც სრულყოფილი რიცხვთა თეორია შექმნა. მისი თეორემის თანახმად, თუ ნატურალური რიცხვი მეტია ორზე, მაშინ Xn+Yn=Zn განტოლებას მთელი X, Y, Z, რიცხვებისთვის ამონახსნი არა აქვს. ამ თეორემის დამტკიცებას მსოფლიოს მათემატიკოსები 350 წელი ცდილობდნენ, მაგრამ უშედეგოდ. მხოლოდ 1994 წელს ინგლისელმა მათემატიკოსმა ვაილსმა მათემატიკის უახლესი მიღწევების გამოყენებით მრავალწლიანი კვლევის შედეგად შეძლო მისი დამტკიცება.

ლეონარდ ეილერი (1707-1783) – შვეიცარიელი მათემატიკოსი. მისი ნაშრომი „არითმეტიკის სახელმძღვანელო“ (1738-1740) ყველასთვის ხელმისაწვდომი გახდა, რადგან ის იყო არა მარტო მეცნიერული, არამედ მეთოდურად გამართულიც. ის ერთ-ერთი პირველი სახელმძღვანელოა, სადაც მეთოდიკა თან ახლავს მეცნიერულ აღმოჩენებს.

კარლ ფრიდრიხ გაუსი (1777-1855) – გერმანელი მათემატიკოსი. გაუსის ნაშრომებმა სრულყოფილი სახე მისცა რიცხვთა თეორიას. მან 1796 წელს აღმოაჩინა კვადრატული ურთიერთდამოკიდებულების კანონი. ის საშუალებას იძლევა, განისაზღვროს ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოხსნადობა მოდულარულ მათემატიკაში. ამავე წელს მან დაამტკიცა თეორემა მარტივი რიცხვის შესახებ. იგი გვიჩვენებს, როგორ არის განაწილებული მარტივი რიცხვები რიცხვთა წრფეზე. 1801 წელს გაუსმა გამოსცა ნაშრომი „არითმეტიკული გამოკვლევები“, რომელშიც დამტკიცებულია ერთ-ერთი ცენტრალური თეორემა – „კვადრატულ ნაშთა შექცევადობა“, ახლებურად გადმოსცა ჟოზეფ ლუი ლაგრანჟის (1736-1813) მიერ აგებული ფორმათა არითმეტიკული თეორია.

რიცხვთა თეორიაში გამოიყოფა რამდენიმე ქვედარგი:

1) ელემენტარულ რიცხვთა თეორია, რომელიც სწავლობს მთელი რიცხვების კანონზომიერებებს სხვა დარგების გამოყენების გარეშე;

2) ანალიზური რიცხვთა თეორია – მთელი რიცხვების შესწავლისას იყენებს მათემატიკური ანალიზის მეთოდებს;

3) ალგებრულ რიცხვთა თეორია, რომელიც შეისწავლის ალგებრულ რიცხვებს, ე. ი. მთელკოეფიციანტიანი მრავალწევრის ამონახსნებს.

ყველა დროის მეცნიერები რაიმე საკითხის გადაწყვეტისას იყენებდნენ ამოხსნადობის ალგორითმს.

ალგორითმი იმ მოქმედებათა ერთობლიობის ზუსტი და სრული აღწერაა, რომელთა მკაცრად განსაზღვრული თანმიმდევრობით შესრულება განაპირობებს დასმული ამოცანის ამოხსნას.

ალგორითმი გამოყენებულია ჯერ კიდევ უძველესი ბაბილონის პერიოდიდან ვაჭრობასა და ბეგარასთან დაკავშირებულ გამოთვლებში.

ბერძენი მათემატიკოსი ერატოსთენე (ძვ.წ.276-194) სწავლობდა ათენსა და ალექსანდრიაში, გატაცებული იყო ასტრონომიით, ფილოლოგიით, მუსიკით, განაგებდა ალექსანდრიის სახელგანთქმულ ბიბლიოთეკას. მათემატიკაში მისი სახელი ნატურალურ რიცხვამდე მარტივ რიცხვთა პოვნის ალგორითმთანაა დაკავშირებული. ყველაზე ცნობილი ალგორითმი მოყვანილია ევკლიდეს მე-7 წიგნში „ელემენტები“. ის საშუალებას გვაძლევს, ვიპოვოთ ორი რიცხვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი.

ტერმინი „ალგორითმი“ მე-9 საუკუნის შუააზიელი მოაზროვნის მუჰამედ ენ მუსა ალ-ხორეზმის სახელის ლათინურ ტრანსკრიფციას უკავშირდება (algorithmi). იs ეკუთვნის მე-12 საუკუნეში მოღვაწე ბერს ადელარდ დე ბათმას. ალ-ხორეზმმა ჩამოაყალიბა არითმეტიკული მოქმედების წესები, მისმა ტრაქტატმა არითმეტიკასა და ალგებრაში, რომელიც მე-12 საუკუნეში ლათინურ ენაზე თარგმნეს, მნიშვნელოვანი გავლენა მოახდინა მათემატიკის განვითარებაზე დასავლეთ ევროპაში. აქედან გამომდინარე, თავდაპირველად ალგორითმის ცნება გულისხმობდა მრავალნიშნა რიცხვზე მხოლოდ ოთხი არითმეტიკული მოქმედების შესწავლის წესებს. ამჟამად ტერმინი სხვადასხვა სახით ცალკეული წესის საზოგადო სახელია და შემდეგნაირად განიმარტება:

ალგორითმი გარკვეულ მითითებათა სასრული მიმდევრობაა, რომლის შესრულება საშუალებას გვაძლევს, მივიღოთ მოცემული ამოცანის ამონახსნი.

ალგორითმი არის გამოსახულება, რომელიც შედგება მოქმედებათა თანმიმდევრობისაგან და გამოთვლებით ამოცანის ამოხსნის საშუალებას იძლევა.

მე-17 საუკუნეში რენე დეკარტის „მეთოდის დისკუსიაში“ ფართოდაა წარმოდგენილი ალგორითმი. ის აყალიბებს იდეას, „ცალ-ცალკე“ გაიყოს თითოეული ამოცანა იმდენ ნაწილად, რამდენადაც შესაძლებელია. იტერაციისა და ციკლის კონცეფციის ხსენების გარეშე დეკარტეს მიდგომამ წინ გაუსწრო ლოგიკას და მისი ნამუშევრების ანალიზმა გაჩინა სიტყვა „პროგრამა“, რომელიც ფრანგულში გაჩნდა 1977 წელს.

არსებითი სახელი „ალგორითმი“ გამოხატავს გამოყენების მეთოდს. ტერმინი ასევე გამოიყენება როგორც ზედსართავი სახელი. „ალგორითმი“ გამოხატავს განსახორციელებელი ოპერაციების სერიის ამოხსნას. ინფორმაციის ენაზე წერა გამოიხატება ტერმინით „კოდირება“.

რიცხვთა თეორიას დიდი გამოყენება აქვს თანამედროვე ტექნოლოგიებში. კომპიუტერის მეხსიერება სწორედ რიცხვთა თეორიაზეა მიბმული. კომპიუტერი რიცხვ 80-ს იმახსოვრებს 1010000 ჩანაწერით, ანუ გამოყენებულია ორობითი არაპოზიციური სისტემა. არაპოზიციური სისტემა არის ისეთი სისტემა, რომელიც პოზიციური არ არის. პოზიციური სისტემა კი თვლის ისეთი სისტემაა, რომელშიც გარკვეულ ინფორმაციას ციფრების გარდა რიცხვის ჩანაწერში მათი მდებარეობაც (პოზიცია) გვაძლევს. თვლის პოზიციური სისტემა, რომლითაც ჩვენ ყოველდღიურ ცხოვრებაში ვსარგებლობთ, ევროპაში ინდოეთიდან შემოვიდა. ეს სისტემა „ანბანი“ ათი ციფრისგან შედგება. მისთვის განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია რიცხვი 10 (სისტემის ფუძე) და ფუძის ხარისხის მიმდევრობა, რომელსაც სისტემის ბაზის ბაზას უწოდებენ.

თვლის პირველ პოზიციურ სისტემად მეცნიერები ბაბილონურ სამოცობითს მიიჩნევენ. ამ სისტემის კვალს დღემდე ვხვდებით კუთხეებისა და დროის შუალედების გაზომვისას.

საქართველოში არაბულ ციფრებს უკვე X საუკუნეში იყენებდნენ, მაგრამ XVIII საუკუნემდე რიცხვების გამოსახატავად ქართული ანბანის 37 ასო გამოიყენებოდა. პირველი ცხრა ერთეულებს აღნიშნავდა, მეორე ცხრა – ათეულებს, უკანასკნელი ასო ნიშნავდა „ბევრს“. მაგალითად ჩყპგ=1883. „ორობითი ციფრი“, ინგლისურად – „binagy digit“, შემოკლებით – „bit“, „ბიტი“, არის ინფორმაციის რაოდენობა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს, ორი შესაძლოდან შევარჩიოთ ერთი ვარიანტი.

თანამედროვე კომპიუტერს შეუძლია, დაამუშაოს რიცხვითი, ტექსტური, გრაფიკული, ხმოვანი და ვიდეო ინფორმაცია. ინფორმაციის ეს სახეები კომპიუტერში წარმოდგენილია ორობითი კოდის სახით. გამოყენებულია ორი სიმბოლოსაგან (0 და 1) შედგენილი ანბანი. ეს იმითაა გამოწვეული, რომ მოხერხებულია ინფორმაციის წარმოდგენა ელექტრული იმპულსების მიმდევრობით: არ არის იმპულსი „0“ – არის იმპულსი „1“.

ერთ ბიტს კომპიუტერში შეესაბამება ორობითი კოდის ერთი თანრიგი. იგი იღებს მნიშვნელობას „0“ ან „1“, ხოლო ერთი სიმბოლოს ორობითი კოდირებისთვის კომპიუტერში გამოყენებულია 8 ბიტი, რომელსაც ბაიტი ეწოდება.

ინფორმაციის ზომის ბაიტზე უფრო დიდი ერთეულებია:

1 კილობაიტი – 1კბ=210; 1 მეგაბაიტი – 1მბ=220

1 გიგაბაიტი – 1 გბ=230; 1 ტერაბაიტი – 1ტბ=240.

ინფორმაციის კოდირება უძველესი დროიდან მოდის, რადგან ინფორმაციის გასაიდუმლოება ხშირად საჭირო იყო, განსაკუთრებით – საბრძოლო მოქმედებების დროს. ამ მიზნით ადამიანები მიმართავდნენ შიფრის გამოყენებით კოდირებას. ჯერ კიდევ ძველი წელთაღრიცხვის I საუკუნეში ცნობილი გახდა იულიუს ცეზარის შიფრი – ტექსტის გასაიდუმლოებისას ანბანის ყოველი ასო ამ ასოს შემდეგ რიგით მესამე (შესაძლოა, მე-6, მე-7 და ა.შ.) ასოთი იცვლება. თუმცა ასოების გადათვლა იმ „ნაშთთა არითმეტიკაში“ ხდება, რომლის მოდულიც ამ ანბანში ასოების რაოდენობის ტოლია. ანუ ასოების გადანომვრის შემდეგ გვაქვს ასახვა X-> X+K, მაგალითად, 26 მოდულის არითმეტიკაში (რომელიც ლათინური ანბანისთვის გამოდგება) თუ K=7, მაშინ 20->1, T->A ( T ასო A ასოთი იცვლება). გერმანელმა ფილოსოფოსმა გეორგ ფრიდრიხ გროტეფენდმა (1775-1853) თავისი მიღწევებით და კოდის ამოცნობით ლურსმული წარწერები გაშიფრა და დაგვანახა ცხოვრება მესოპოტამიის ხალხებისა, რომლებიც აგებდნენ ბაბილონის გოდოლს და სემირამიდას დაკიდებულ ბაღებს.

ფრანგმა ისტორიკოსმა ჟან ფრანსუა შამპოლიონმა (1790-1832) „გატეხა“ ეგვიპტური იეროგლიფური დამწერლობის კოდი და ნილოსის ველის უძველესმა ენამ გახსნა თავისი საუნჯე [31;33].

 

გამოყენებული ლიტერატურა:

ლ. გოკიელი, მათემატიკის საფუძვლები. თბილისი, 1958 წ.

ალფრედ რენე, დიალოგი მათემატიკაზე. გამომცემლობა „ნაკადული“, 1981 წ.

თ. ბეიტრიშვილი და სხვ., მათემატიკა. X კლ. გამომცემლობა „დიოგენე“, 2006 წ.

Googl: პიერ ფერმა; ერატოსთენე; მუჰამედ ბენ მუსა ალ-ხორეზმი; ჟან ფრანსუა შამპოლიონი; გეორგ ფრიდრიხ გროტეფენდი; ვაილსი

კომენტარები

comments