როდესაც გაკვეთილების ინტეგრირებაზე ვსაუბრობთ, ალბათ საქმეში ჩაუხედავი ადამიანი ძნელად თუ წარმოიდგენს, როგორ შეიძლება, ერთი შეხედვით, ერთმანეთისგან დაშორებული დისციპლინების, მაგალითად, მათემატიკისა და პოეზიის გაერთიანებას. მაგრამ, თუკი შევთავაზებთ, აიღონ რომელიმე საინტერესო კონცეპტი და შეეცადონ, ამ კონცეპტის ირგვლივ ისაუბრონ ჯერ ერთი, შემდეგ კი მეორე დისციპლინის ფარგლებში, აღმოაჩენენ, რომ ამ დისციპლინებს ბევრად მეტი რამ აქვთ საერთო, ვიდრე მანამდე ეგონათ. მე, როგორც ფილოლოგმა და პეტრემ, როგორც მატემატიკოსმა, გადავწყვიტეთ რამდენიმე ინტეგრირებული გაკვეთილის ჩატარება იმ პირობით, რომ ამ გაკვეთილებში ერთი საგანი აუცილებლად მათემატიკა იქნებოდა. ჩვენს მოსწავლეებს ასეთი გაკვეთილები ძალიან მოეწონათ, რადგან პირველად შეხედეს საგნებს განსხვავებული კუთხიდან. გთავაზობთ გეგმას, რომლის მიხედვითაც, ნებისმიერი დაინტერესებული მასწავლებელი ჩაატარებს ინტეგრირებულ გაკვეთილს. რა თქმა უნდა, ამ წერილში წარმოდგენილი მაგალითები კონკრეტული ასაკობრივი კატეგორიისთვისაა (მეთერთმეტე კლასი) განკუთვნილი და მათი შეცვლა აუცილებელი იქნება, თუკი თქვენი მოსწავლეები სხვა ასაკობივ კატეგორიას განეკუთვნებიან.
გაკვეთილის დასაწყისში დავსვათ ასეთი შეკითხვები (სასურველია, შეკითხვები პროექტორის საშუალებით გავუშვათ და დისკუსია სხვა მიმართულებით არ წავიდეს. გაკვეთილის ამ ნაწილს დავუთმოთ 6 წუთი): არსებობს თუ არა სილამაზის უნივერსალური განმარტება? არსებობს თუ არა საერთო მახასიათებელი, რომელსაც ერთნაირად განვიცდით, როდესაც ვუცქერით ან ვუსმენთ იმას, რაც ყველას მიერაა აღიარებული როგორც ლამაზი? დაიძებნება თუ არა ისეთი ნიშანი, რის მიხედვითაც დახასიათდება ლამაზი? ამ შეკითხვებზე პასუხის გასაცემად შევთავაზოთ მოსწავლეებს, ჩამოთვალონ, რა ან ვინ მიაჩნიათ ლამაზად, რომელი მუსიკა ან ლექსი ჰგონიათ ლამაზი. ჩამონათვალი დაადასტურებს, რომ ადამიანებს სხვადასხვაგვარი შეხედულება აქვთ სილამაზეზე, მათ განსხვავებული მუსიკა, ლიტერატურა, სპექტაკლი მოსწონთ. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სილამაზე არის ის იარლიყი, რომელსაც ვაკრავთ აღსაწერ საგანს ან მოვლენას და ეფუძნება კულტურული და პირადი შეხედულებების კომბინაციას. ასეთ განმარტებას პირობითად სილამაზის სუბიეტური აღქმა ვუწოდოთ.
სილამაზის სუბიექტური აღქმა დამოკიდებულია იმ კულტურაზეც, რომელშიც ვტრიალებთ. მოსწავლეებს სანიმუშოდ შეგვიძლია რამდენიმე სლაიდიც ვუჩვენოთ. ჩვენ გამოვიყენეთ კარენი გოგონას ფოტო სამხრეთ ტაილანდიდან (ამ ტომში ქალების სილამაზე კისრის სიგრძეზეა დამოკიდებული, ამიტომაც გოგონებს ბავშვობიდან კისერზე (და ფეხებზეც) ჩამოაცმევენ რგოლებს, რომელთა რაოდენობაც წლიდან წლამდე იზრდება, სანამ კისერი სასურველ ზომას არ მიაღწევს), კარამოჯონგელი ქალის ფოტო (ამ ტომის ქალების სილამაზე ნაიარავ სახეშია, ამიტომაც ისინი სპეციალურად ისახიჩრებენ სახის კანს, რათა ნაჭდევმა სამუდამოდ „გაალამაზოს“ მათი სახე), მურსი ქალის ფოტო (ამ ტომის ქალები ქვედა ტუჩში სპეციალურად დამზადებულ თიხის ფირფიტას ითავსებენ. ფირფიტის დიამეტრის ზომა 10-დან 15 სანტიმეტრამდეა და მისი განსხვავებული ორნამენტებით მორთვა ქალის ღირსების საკითხია) და მამაკაცის ფოტო ბოროროს ტომიდან (ბოროროს ტომის მამაკაცები ნიგერსა და ნიგერიაში სახლობენ. ისინი თავიანთ თავს მსოფლიოში ყველაზე ლამაზ მამაკაცებად მიიჩნევენ. ყოველწლიურად ატარებენ ვააკეს, სილამაზის კონკურსს, რომლისთვისაც განსაკუთრებულად იკაზმებიან და იღებავენ სახეს). ყველა ეს ფოტო ადვილი მოსაძებნია ინტერნეტში. გაკვეთილის ამ ნაწილს დაუთმეთ 2 წუთი.
თუმცა, ე.წ. სუბიექტური სილამაზის გარდა, არსებობს ობიექტური სილამაზეც. აღმოჩნდა, რომ ობიექტური სილამაზის უკან დგას მათემატიკა, კერძოდ, ოქროს კვეთა, იგივე ფი, იგივე, ოქროს პროპორცია. მიუხედავად იმისა, რომ იგი მუდმივად არსებობდა, მისი აღმოჩენა რამდენჯერმე მოხდა, ამიტომაც აქვს რამდენიმე სახელწოდება: ჯერ მე-16 საუკუნეში უწოდეს ღვთაებრივი პროპორცია, შემდეგ მე-18-ში – ოქროს კვეთა, ბოლოს კი – მე-19 საუკუნეში ბერძნული ასო „ფი“-თი აღნიშნეს. φ სიმბოლო, რომელიც ამ ცნებას გამოხატავს, 1.618 შეადგენს (აქ შეგიძლიათ დაფაზე დახატოთ წრფე, რომელსაც გაყოფთ ორ არატოლ ნაწილად და აღნიშნავთ ასოებით A, B, C, შემდეგ კი ახსნით, რომ AC შეფარდება AB-თან ისევეა 1.618, როგორც AB შეფარდება AC-თან). ოქროს კვეთა მოიძებნება მუსიკაში, პოეზიაში, არქიტექტურაში და არა მარტო ადამიანის მიერ შექმნილ დარგებში. თუკი დავაკვირდებით, ოქროს პროპორცია გვხვდება ადამიანის სხეულის აგებულებაში, დნმ-ში, ყველაზე მოულოდნელ ადგილებში მთელი სამყაროს მასშტაბით (აქ შეგიძლიათ აჩვენოთ სხვადასხვა სლაიდი, რომელზეც გამოსახული იქნება პართენონი, ჯოკონდა, გირჩი, ანანასი და სხვ. სულ ამ ნაწილს დაუთმეთ 5 წუთი და დაასრულეთ ფრაზით, რომ ხუმრობაშერეული შეკითხვა, ხომ არ არის ღმერთი მათემატიკოსი, საფუძველს მოკლებული არ არის).
როგორც აღმოჩნდა, სილამაზის უკან მათემატიკური ფორმულები დგას და სილამაზის აღწერა მათემატიკის ენითაა შესაძლებელი. ახლა საკითხს შებრუნებულად შევხედოთ. დგას თუ არა მათემატიკის უკანაც სილამაზე? თუ მათემატიკა მათემატიკაა და მისი შეფასება სილამაზე-სიუშნოვის კრიტერიუმებით დაუშვებელია?
მათემატიკოსები მიიჩნევენ, რომ ფორმულა ლამაზია, თუკი ის სადაა და მოკლე და, თუკი მას ახსნითი ძალა გააჩნია. ასევე ფიქრობენ საბუნებისმეტყველო დარგის წარმომადგენლებიც, რომლებიც თეორიის სილამაზესაც სისადავეში, ლაკონიურობასა და ახსნით უნარში ხედავენ. ახსნით ძალაში იგულისხმება ის, რომ ლამაზმა ფორმულამ ან თეორიამ უნდა დააკავშიროს, ერთი შეხედვით, წარმოუდგენელი და დაშორებული კონცეპტები. 1+1=2 არ არის ლამაზი (თუმცა სადა და მოკლეა), რადგან ის არ აკავშირებს დაშორებულ კონცეპტებს. ლამაზია ეულერის, აინშტაინის, პითაგორას და სხვ. მიგნებები. თუმცა ახლა ყურადღებას ისეთ მაგალითებზე შევაჩერებთ, რომელთა ამოსახსნელად გრძელი და მოკლე გზები დაიძებნება. ორივე გზას სწორ პასუხამდე მივყავართ, მაგრამ ვნახოთ, რომელი გზა უფრო ლამაზია (მათემატიკის ნაწილს დაუთმეთ 20 წუთი და არ დაგავიწყდეთ, მაგალითების ამოხსნის პროცესში მოსწავლეები ჩართოთ). მოსწავლეებს დაუსვით შეკითხვა: ოდესმე თუ ამოგიხსნიათ რაიმე ამოცანა და შემდეგ თქვენი ამოხსნით ყოფილხართ კმაყოფილი? ეს კმაყოფილება მხოლოდ სწორი პასუხის მიღებამ გამოიწვია თუ ეს კმაყოფილება იმით იყო გამოწვეული, რომ ამოხსნა იყო ეფექტური, სტილისტური ან თუნდაც ლამაზი ?
ამის შემდეგ მოსწავლეებს შევთავაზოთ ამოცანის ამოხსნის ორი გზა: (აქ შეიძლება თავად მოსწავლეებისაგან მოვისმინოთ ამოხსნები, ხოლო შემდეგ პროექტორით გავუშვათ ქვემოთ მოყვანილი ორი ამოხსნა).
გახსენით ფრჩხილები და გაამარტივეთ:
ამოხსნა1.
ამოხსნა 2.
დავსვათ შეკითხვა: რომელი ამოხსნაა უკეთესი ?
ორივე ამოხსნა გვაძლევს სწორ პასუხს და მაინც მეორე ამოხსნა უკეთესად გამოიყურება. ის უფრო ელეგანტური და ლაკონიურია, ვიდრე – პირველი. აქვე შეგვიძლია მოვიშველიოთ დენვერის უნივერსიტეტის პროფესორის სტენ გადერის სიტყვები „მათემატიკის არსი ის კი არაა, რომ მარტივი გავართულოთ, არამედ ის, რომ რთული გავამარტივოთ – The essence of mathematics is not to make simple things complicated, but to make complicated things simple” . ამ სიტყვების შინაარსია სწორედ ის, რომ ყველაფერი ლამაზი არის მარტივი. აქვე შეგვიძლია, დასტურად მოვიშველიოთ ცნობილი განტოლებები, რომლებიც აღწერენ სამყაროს:
არ არის გასაოცარი, რომ სამყარო აღიწერება მათემატიკური განტოლებებით?! ეს განტოლებებია, რომლებმაც შეაძლებინა ადამიანს, მიეღწია მთვარეზე, შეექმნა ინტერნეტი და გაეგო ადამიანის სხეულის მუშაობა.
ამის შემდეგ მოსწავლეებს ვუსვამთ შეკითხვას: რომელი განტოლებაა თქვენი ფავორიტი და რატომ? თუ შევაჯამებთ, დავრწმუნდებით, რომ ყველა ეს განტოლება პირველ რიგში არის მარტივი და ლამაზი. ე.ი. მათემატიკა შეიძლება გამოვიყენოთ სილამაზის განსაზღვრისათვის და სილამაზე არის მათემატიკაშიც. აქ შეიძლება მოსწავლეებს ვთხოვოთ, მოიფიქრონ ლამაზი და ელეგანტური ამოხსნები მათემატიკაში. ე. ი. მათემატიკა დგას სილამაზის უკან და სილამაზე არის თავად მათემატიკაშიც.
სილამაზე დაიძებნება მთელ რიგ დარგებშიც, აღარაფერი რომ არ ვთქვათ ხელოვნებაზე, კერძოდ, პოეზიაზე, სილამაზეს ეძებენ კომპიუტერულ მეცნიერებებში, საბუნებისმეტყველო დარგებში. ხშირად ტერმინ „სილამაზეს“ ანაცვლებენ სიტყვით „მოხდენილობა, ელეგანტურობა“.
გაკვეთილის ბოლო 10 წუთი პოეზიას დაუთმეთ, ორი წუთი კი გაკვეთილის შესაჯამებლად მოიტოვეთ. პოეზია მოხდენილად, მარტივად გადმოგვცემს ურთულეს იდეებს. მაგ. სიბერის აღწერა ბევრნაირად შეიძლება. პოეტი კი ასე იტყვის: „მე გარდასრულვარ სიბერე მჭირს ჭირთა უფრო ძნელია“. ამაზე მოხდენილად ვერავინ დაახასიათებს სიბერეს. ანდა ვინ დაახასიათებს პოეტებზე უკეთ სიყვარულს („ეკერებოდა გულმკერდზე ქმარს მარგალიტის ღილადა“), სიცოცხლის მსწრაფლმავლობას („ფიფქი მეცემა ცხელ ხელებზე და ფიფქი კვდება, რაა სიცოცხლე?“) და სხვა ურთულეს კატეგორიებს? თხოვეთ მოსწავლეებს სხვა მაგალითებიც გაიხსენონ, როდესაც, პოეზიის საშუალებით, სადად, მოხდენილად და მარტივად გადმოვცემთ სხვადასხვა რთულ კატეგორიას. ეჭვი არ მეპარება, თქვენს მოსწავლეებსაც, ჩემი და პეტრეს მოსწავლეების მსგავსად, უამრავი მაგალითი გაახსენდებათ პოეზიიდან სიკვდილზე, მეგობრობაზე, ვაჟკაცობაზე, წელიწადის დროებზეც კი.
მაგალითები გვარწმუნებს, რომ პოეზიაც, მათემატიკური ფორმულების მსგავსად, ახერხებს, ურთულესი და ერთმანეთისგან დაშორებული კონცეპტების შეკავშირებას. ეს კი კიდევ ერთხელ ადასტურებს, რომ სილამაზე და მოხდენილობა სწორედ სისადავესა და რთულის მარტივად ახსნის ძალაშია. ეგებ სილამაზე გრძნობებისა და გონების დაკმაყოფილების საიდუმლოც კი იყოს?
და ბოლოს, რატომ დავინტერესდით სილამაზის კონცეპტით? ეგებ სილამაზის აღმოჩენამ ჭეშმარიტებაც გვაპოვნინოს?! სილამაზე ხომ ჭეშმარიტებაა და ჭეშმარიტება სილამაზე?!
გაკვეთილი დაასრულეთ ინტრიგით: მოსწავლეებს უთხარით, რომ დღესაც არსებობს ისეთი მათემატიკური ამოცანები, რომლის ელეგანტური ამოხსნისთვისაც დიდი პრიზებია დაწესებული. მათი ამოხსნა კომპიუტერის დაუხმარებლად უნდა მოხდეს. თითქმის ყველა დიდი მათემატიკოსი აღმოჩენებს ადრეულ ასაკში აკეთებდა და ამიტომაც შესთავაზეთ, დაძებნონ ასეთი თავსატეხი ამოცანები და თავისუფალ დროს შეეცადონ, მათი ამოხსნის გზები ეძებონ. ამგვარი ინტელექტუალური დავალების შესრულება ხომ ორმხრივად დადებითია, რადგან სარგებლობაც მოაქვს და სიამოვნებასაც გვანიჭებს.
გაკვეთილის მომზადების პროცესში შემდეგი რესურსები გამოვიყენეთ:
http://www.toktalk.net/2009/12/15/of-science-math-and-beauty/
https://www.goldennumber.net/golden-ratio-history/
https://philosophy.about.com/od/Philosophical-Branches/a/Aesthetics.htm
https://www.nplg.gov.ge/ebooks/authors/vaja_pshavela/Poemebi/stumar-maspindzeli.pdf
https://courses.washington.edu/dtcg/texts/data/jr/drops.html
https://poetry.ge/poets/shota-rustaveli/poems/9761.vefxistkaosani-ambavi-rostevan-arabta-mefisa.htm
